Re: [中學] 數學歸納法

[kerwinhui (kezza)]

※ 引述《SmallLuLu (小嚕嚕)》之銘言：
: 有n個正數 x1,x2,...,xn   n>=2
: 請用數學歸納法證明
: x1^2   x2^2   ...   x(n-1)^2    xn^2
: ---- + ---- +     + -----    + ------ >= x1+x2+...+xn
:  x2     x3            xn         x1
: 首先我證明n=2成立　有證出來了
: 接著我假設n=k成立　要證明n=k+1成立時　就卡住了
: 屍體如下
: http://ppt.cc/k~Cc
: 請問有高手能幫分享接下來怎做嗎
: 或是我一開始方向就錯了
: btw 題目規定一定要用數學歸納法

w大把他的回答刪掉，也刪掉了我推文內的解說，所以新發一篇出來

你做不下去的原因是太早用n=k的假設了

先想像一下，如果用 n=k 的話兩邊分別要加上
LHS: x_n^2/x_{n+1} + x_{n+1}^2/x_1 - x_n^2/x_1
RHS: x_{n+1}
所以用 n=k 之前必須要確保
x_n^2/x_{n+1} + x_{n+1}^2/x_1 - x_n^2/x_1 >= x_{n+1}
才可以用 a>=b, c>=d => a+c>=b+d 做下去。
因x_i皆是正數，分母消掉後可得
x_n^2 x_1 + x_{n+1}^3 - x_n^2 x_{n+1} >= x_{n+1}^2 x_1
即：(x_n^2 - x_{n+1}^2) x_1 + x_{n+1} (x_{n+1}^2 - x_n^2) >= 0
即：(x_n + x_{n+1}) (x_n - x_{n+1}) (x_1 - x_{n+1}) >= 0
若 x_{n+1} 為所有 x_i 中最小 (或最大) 則當然能得出此不等式

所以：設 x_m 為 x_i 的最小值，
　　　y_1=x_{m+1},
　　　y_2=x_{m+2},
　　　...,
　　　y_{n+1-m}=x_{n+1},
　　　y_{n+2-m}=x_1,
　　　y_{n+3-m}=x_2,
　　　...,
　　　y_{n+1}=x_m
則循環和
x_1^2/x_2 + ... + x_{n+1}^2/x_1 = y_1^2/y_2 + ... + y_{n+1}^2/y_1
x_1 + x_2 + ... + x_{n+1} = y_1 + y_2 + ... + y_{n+1}
而上面已證
y_1^2/y_2 + ... + y_{n+1}^2/y_1 >= y_1 + y_2 + ... + y_{n+1}      QED

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『我思故我在』怎樣從法文變成拉丁文的：
je pense, donc je suis --- René Descartes, Discours de la Méthode (1637)
ego sum, ego existo    --- ____, Meditationes de Prima Philosophia (1641)
ego cogito, ergo sum   --- ____, Principia Philosophiae (1644)

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→ wohtp       : 啊，本來想要回來重新發一篇的
→ wohtp       : 感謝k大
→ wohtp       : 補充一下：
→ wohtp       : xn^2/x{n+1} + x{n+1}^2/x1 - xn^2/x1 >= x{n+1}
→ wohtp       : 這一行是充分條件，而不是必要條件
→ wohtp       : 因為就算左邊小於右邊，前n項還是說不定可以補回來
→ wohtp       : k大做的是：把 xi 重新排成 yi 以後，yi 剛好會滿足
→ wohtp       : 這個充分條件
→ SmallLuLu   : 謝謝 我仔細看一下