[中學] 多項式求餘式

[iclaire (JOJO)]

已知f(x)為一個四次以上的多項式

若f(x)分別除以(x^2-4)和(x^2+x+1)得到的餘式為-5x+1和3x-1

則f(x)除以(x^2-4)(x^2+x+1)的餘式為何?



他的解答是直接假設成
f(x) = (x^2-4)(x^2+x+1)Q(x) + (x^2+x+1)(ax+b) + 3x-1

可是我百思不得其解的是根據牛頓的降次假設

(x^2+x+1)(ax+b)後面不是應該要降到二次嗎? 為什麼可以直接寫3x-1

雖然題目說f(x)除以(x^2+x+1)得到的餘式為3x-1
可是應該不能確定(x^2+x+1)(ax+b)後面的二次式會沒有才對啊



我後來有想到另一個假設法  如果按照牛頓的降次

應該要設 f(x) = (x^2-4)(x^2+x+1)Q(x) + a(x^2+x+1)(x-2) + b(x^2+x+1) + 3x-1


不過卻發現這兩種假設法答案卻都一樣!


想問一下是為什麼呢

所以我們之後遇到類似的題目在假設多項式時都不一定要乖乖降次嗎?

謝謝!


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→ wayn2008    : 你把x^2+x+1提出來就知道了
→ Vulpix      : 一個「最高三次」式除以二次式，餘式就是一次式。
→ iclaire     : 所以只要除式是四次式的都可以這樣做囉?
→ iclaire     : 因為我幾乎沒有看過這種題目除式是四次以上的...
→ LPH66       : 如二樓所說, (x^2+x+1)(ax+b)+(3x-1) 即是所求餘式
→ LPH66       : 所以 ax+b 即是這餘式去除以 x^2+x+1 的商式
→ LPH66       : 你原來的降次公式只是商式為常數而已
→ wayn2008    : 這種就像你最後做的就可以了，不用制式背下來。
→ wayn2008    : 感覺推文語氣是要把題型記下來@@
→ iclaire     : 懂了 感謝~