Re: [中學] 國中幾何證明題

[linkismet (linkismet)]

※ 引述《linkismet (linkismet)》之銘言：
: ※ 引述《dayjay (數學小老師)》之銘言：
: : http://i.imgur.com/nl750yL.jpg
: : 科學班甄選試題，求解
: REFER:
: http://mathworld.wolfram.com/OrthicTriangle.html
: ------------------------------------------------------------------------------
: DEF:
: a,b,c := 對邊
: R := △ABC外接圓半徑
: r := △DEF內接圓半徑
: ------------------------------------------------------------------------------
: PROPERTIES:
: △ABC的垂心是△DEF的內心
: 式一: △ABC=abc/4R
: 式二: △DEF=(abc*abs(cosAcosBcosC))/(2R)=(DE+EF+FD)*r/2
: 式三: r=2R*abs(cosAcosBcosC)
: ------------------------------------------------------------------------------
: PROOF:
: 由式二得 abc/2R,和式三一起 代入式一即可得到
: △ABC=R*(DE+EF+FD)/2
: ------------------------------------------------------------------------------
: 有現成的就偷懶不想自己證明...

想了個用三角函數的証明

首先利用共圓得到角度關係
http://imgur.com/bv3Z87a

再定義一些角度
http://imgur.com/AJ7cPxu

接下來只要用正弦定理和角度關係做些代數運算
http://imgur.com/ycq3ndW
http://imgur.com/dsJFJYc




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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.234.153.61
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1417231279.A.105.html
推 Sfly        : 應該有古典幾何的解法
推 LPH66       : 現在才發現這跟我在 #1KK-2M-g 解的那一題問的幾乎
→ LPH66       : 是一樣的東西...
推 dayjay      : 感謝!  很清楚
推 ipost       : 有古典幾何證明: 設外心為O, BC中點為M, B對CO做垂
→ ipost       : 線垂足為H, 證明EF=BH. 因BEFHC共圓, 因此等於要證
→ ipost       : 明角BMH=角EMF. 因角EMF=180度-角A, 而角BMH=180度-
→ ipost       : 角A, 故得證. 然後DE和DF也如法炮製. 三角形面積=
→ ipost       : 1/2 R*(三頂點做AO BO CO的垂線)=1/2 R*(DF+DE+EF)
→ ipost       : 更正 角BMH=角EMF=180度-2*角A
推 ipost       : 原題的等式好像對鈍角三角形不成立?
→ ipost       : 沒仔細看, 但是三角函數的證法有限定要銳角嗎?
→ ipost       : 如果式一 式二 式三 對所有三角形都成立, 那顯然原
→ ipost       : 題對鈍角三角形也應該成立?
→ linkismet   : 原命題鈍角時仍成立，但我寫的証明是以圖寫出條件
→ linkismet   : 的，所以討論鈍角的狀況時都要修改。用兩種概念都是
→ linkismet   : 能得証的。
→ linkismet   : 至於數學資料庫給的資料我沒一一逐証，但我想應該是
→ linkismet   : 都成立的。
推 ipost       : 我覺得奇怪的是 我和S大的證明初步看起來都無法適用
→ ipost       : 到鈍角 也就是其實古典幾何證明並沒有證出鈍角的情
→ ipost       : 形 而式二 式三中用到了絕對值 所以是有考慮到鈍角
→ ipost       : 的情形(內容我沒仔細看) 我在思考要怎麼把古典幾何
→ ipost       : 證明補完鈍角情形時, 發現鈍角好像是不成立的. 所以
→ ipost       : 要不就是鈍角的情形要另外想個古典證明, 要不就是那
→ ipost       : 三個三角函數公式有錯?
推 ipost       : 原命題對鈍角三角形不成立: 考慮一個等腰三角形,最
→ ipost       : 大角趨近180度, 則R趨近於無限大, 而DF+EF+FD趨近於
→ ipost       : 最大角對邊的兩倍
→ ipost       : 式二應該是針對銳角三角形 但既然如此他在式中用絕
→ ipost       : 對值有何意義? XD
→ linkismet   : 式一二三是鈍銳角都成立的，討論鈍角時三個餘弦連
→ linkismet   : 乘積會是負的所以要加絕對值才夠一般，我之後再補
→ linkismet   : 式一二三的證明