[其他] 質數的間距(一)

[JohnMash (Paul)]

質數的間距(一)

最近讀了一些數論的東西 在這裡寫一下心得

註 下文中的p均代表質數 N代表大整數 ㏒代表自然對數

十九世紀數學家發現了質數定理 小於N的質數個數約等於N/ ㏒N
也就是

Σ_{p<N} 1 = π(N) ~ N/ ㏒N

由此可知 質數雖然有其獨特的乘法性質 但是在分布上是有規律的
N到2N之間的質數個數約有

 π(2N)  -  π(N) = 2N/ ㏒(2N) - N/ ㏒N ~ N/ ㏒N 其密度為 1/ ㏒N

2N到3N之間的質數個數約有

  π(3N) -  π(2N) = 3N/ ㏒(3N) - 2N/ ㏒(2N) ~ N/ ㏒N 其密度亦為 1/ ㏒N

以機率的觀點說明 就是隨便抓一個和N同數量級的整數 其為質數的機率約為 1/ ㏒N

質數分布的很多猜想 就是從機率觀點出發的
考慮無窮等差數列 a, a+q,  a+2q, ... (a<q)會不會有無窮多個質數?
首先 若(a,q)=d>1 則每項均為d的倍數 顯然不成立
但是 若(a,q)=d=1 則猜想應該有無窮多個質數 但是是如何分布的
我們已知小於N的質數約有 π(N)
小於q的正整數而和q互質的個數是 φ(q)  ( φ稱為Euler totient function)
如果 π(N)分配得很平均 則按比例應該期望 a, a+q,  a+2q, ...分到了1/ φ(q)分 也
就是結果應和a無關
所以數學家證明了

 Σ_{p < N, p ≡a mod q, (a,q)=1} 1 ~ π(N)/ φ(q)

進一步我們預期 把不同q的誤差結果 累積起來 應該遠小於 π(N)
(像是機率中的中央極限定理)

 Σ_{q < N} | Σ_{p < N, p ≡a mod q, (a,q)=1} 1 - π(N)/ φ(q) |  << π(N) ?

這件事尚未被證明

現在的結果是

Σ_{ q < N^(1/2) } | Σ_{p < N, p ≡a mod q, (a,q) = 1} 1 - π(N)/ φ(q) |  <<
 π(N)

也就是q累積到 N^(1/2) 的結果得證了 但是累積到N的結果還證不出來



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