[代數] 多項式在某些field的分解

[Torreschu (一人做事薏仁湯)]

題目是判斷

X^6+X^5+X^3+X+1 在 over Z_2 是否為irreducible

答案是NO!

因為

X^6+X^5+X^3+X+1=(X^2+X+1)^3  over Z_2

我想問他是如何找到 X^2+X+1 這個因式的?




另外原本式子X^6+X^5+X^3+X+1代 0 進去得 1
                           代 -1進去得 -1

代表原本式子在0和-1之間有實根

但轉成(X^2+X+1)^3之後根只剩下純虛根了,為什麼?

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※ 編輯: Torreschu (1.169.52.75), 01/12/2015 22:24:03
→ yyc2008     : 那一定是分解錯了阿 你自己乘開 根本不是原題
→ suhorng     : @1F: 是在 Z_2...
→ suhorng     : 還有堪根這樣講不對吧, 明明是要討論 Z_2 不是?
→ suhorng     : 這裡可能還可以硬除試試看, 因為 Z_2 的二次不可約
→ suhorng     : 多項式只有一個
→ yyc2008     : (X^2+X+1)^3自己乘開看看 到底是不是題目多項式
→ yyc2008     : 喔 我了解你的意思 但是我覺得T用勘根去看 表示他覺
→ yyc2008     : 得因式分解是正確的
推 jacky7987   : 補兩個x^4和x^2然後分解成 (x^4+x^2+1)(x^2+x+1)
→ jacky7987   : 前面那個看要用觀察還是變成 (x^2+1)^1-x^2
→ jacky7987   : 再去變成答案XD（怎麼覺得這好像比較技巧阿XDDDD
在 over Z_2下這個分解是對的,我只是好奇:

1.以後如果遇到over Z_p下我們如何去分解一個多項式?

2.為何在over Z_p下多項式根的型態會有所變化?

貼上我問題的來源,這是清大代數期末考的考古題:
題目
http://ocw.nthu.edu.tw/ocw/upload/33/608/Algebra%20II%20fin.pdf
官方解答
http://ocw.nthu.edu.tw/ocw/upload/33/608/Sol.pdf

題目就是1(1),

然後我也看不懂1(4)解答,到底為什麼他知道令
g(x)=f(x+1)可以找出答案啊?太猛了!!!
而且我也不懂為何令
g(x)=(X^2+aX+b)(X^2-aX+c)這麼特殊的形式去確認他irreducible
就能知道他是irreducible,我完全無法掌握他的思考脈絡
揪命啊~~~~~~我要崩潰啦 TOT
※ 編輯: Torreschu (1.169.52.75), 01/12/2015 23:46:59
推 ttinff      : 是中正數學的研所考題嗎 哈
→ wohtp       : 只看這題的話，首先注意這個多項式在Z_2上面沒有根
→ wohtp       : 所以如果有因式，也都不可以有根
→ wohtp       : 所以可能的因式只能有奇數多項
→ wohtp       : 然後 1 + x + x^2 正好是第一個可能性
→ wohtp       : 啊，因為 x 和 x + 1 都不是因式，所以如果能分解，
→ wohtp       : 一定是 (x^2 + x + 1)(x^4 + ... + 1) 或者
→ wohtp       : (x^3 + .. + 1)(x^3 + .. + 1) 這樣的型式
→ wohtp       : 因為Z2很小，用窮舉法硬幹也不會太難