Re: [微積] 求解答

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《sy4826951 (星空孤影)》之銘言：
: http://i.imgur.com/rffCWPr.jpg
: 在下頭腦很笨，希望能有版友幫忙解答
: 感謝萬分


Q2:y"-5y'+6y=exp(4x)


令y=exp(λx)代入可得 y_h = Aexp(3x)+Bexp(2x)

利用待定係數法
令y_p=aexp(4x)

待入方程式可得  16a-20a+6a=1 => a=0.5

可得y_p=0.5exp(4x)

通解y=y_h+y_p=Aexp(3x)+Bexp(2x)+0.5exp(4x)


Q3: y"+6y'+9y=exp(-4x)  y(0)=y'(0)=0


兩端取Laplace轉換 可得

               1                1
s^2Y+6sY+9Y= ─── =>  Y= ──────
              s+4          (s+4)(s+3)^2

                             1         1          1
                         = ─── - ──── + ───
                            s+4       s+3      (s+3)^2

上式做Laplace反轉換得 y = exp(-4x)-exp(-3x)+xexp(-3x) 為解


※另解


令y=exp(λx)代入可得y_h =Aexp(-3x)+Bxexp(-3x)

使用待定係數法 令y_p=aexp(-4x) 代入可得a=1 => y_p=exp(-4x)

可得通解y=y_h+y_p = Aexp(-3x)+Bxexp(-3x)+exp(-4x) ------(1)

        y'(x) =-3Aexp(-3x)-3Bexp(-3x)-4exp(-4x)------(2)

將y(0)=0代入(1)式, y'(0)=0代入(2)式可得聯立方程式
可解出A、B

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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside

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推 sy4826951   : 謝謝你，感恩
推 Honinbo2007 : 以為會有Heaviside
→ Heaviside   : 反轉換的前一步就是Heaviside覆蓋法囉
補一下第一題

xy' + y=xexp(x) 為Euler-Cauchy O.D.E

令x=exp(t) => t=ln(x)

可得xy'=Dy,  D=dy/dt


代回原式可得

Dy+y=exp(t)exp[exp(t)]


(D+1)y=exp(t)exp[exp(t)]


通解y_h =Cexp(-t)= C/x , C為常數

           1                             1
特解y_p= ── exp(t)exp[exp(t)]=exp(t) ───exp[exp(t)]
          D+1                           D+2

                               =exp(t)exp(-2t)∫exp(2t)exp[exp(t)]dt

                               =exp(-t)∫(...)dt
                                                     1
                               =(1/x)∫x^2 exp(x)* ── dx
                                                     x

                               =(1/x)∫xexp(x)dx

                               =(1/x)[xexp(x)-exp(x)]

可得y=y_h+y_p = (1/x)[C+xexp(x)-exp(x)]為解
※ 編輯: Heaviside (111.185.128.190), 01/13/2015 09:47:19