Re: [代數] 多項式在某些field的分解

[AntiForm (鳳翱九天)]

※ 引述《Torreschu (一人做事薏仁湯)》之銘言：
: 題目是判斷
: X^6+X^5+X^3+X+1 在 over Z_2 是否為irreducible
: 答案是NO!
: 因為
: X^6+X^5+X^3+X+1=(X^2+X+1)^3  over Z_2
: 我想問他是如何找到 X^2+X+1 這個因式的?

如果是Z_2的話...

  X^6+X^5+X^3+X+1
= X^6+X^5+X^4+X^4+X^3+X^2+X^2+X+1   (在代值上是一樣的)
= (X^6+X^5+X^4)+(X^4+X^3+X^2)+(X^2+X+1)
= (X^4+X^2+1)(X^2+X+1)
= (X^4+2X^2+1-X^2)(X^2+X+1)      (古老的因式分解 現在大概刪光光了)
= [(X^2+1)^2-X^2](X^2+X+1)
= (X^2-X+1)(X^2+X+1)(X^2+X+1)
= (X^2+X+1)(X^2+X+1)(X^2+X+1)
      ^^..這裡嘛..因為在Z_2中, +0=-0 , +1=-1 , 所以+X=-X

這樣可以嗎??





: 另外原本式子X^6+X^5+X^3+X+1代 0 進去得 1
:                            代 -1進去得 -1
: 代表原本式子在0和-1之間有實根
: 但轉成(X^2+X+1)^3之後根只剩下純虛根了,為什麼?

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推 Torreschu   : GOOD!!! 謝謝你!


==關於下面這段==

然後我也看不懂1(4)解答,到底為什麼他知道令
g(x)=f(x+1)可以找出答案啊?太猛了!!!
而且我也不懂為何令
g(x)=(X^2+aX+b)(X^2-aX+c)這麼特殊的形式去確認他irreducible
就能知道他是irreducible,我完全無法掌握他的思考脈絡
揪命啊~~~~~~我要崩潰啦 TOT


===================

首先是f(x+1)

其實若f(x)可分解, 那f(x+1)應該也要可以分解

因為在Q(根號3)中有解x=a, 那a+1也依然在體中能分解

分解的結果當然會不一樣, 但是一定在原來的體裡(保證存在)

換言之, 若f(x+1) 在Q(根號3)沒根, 那f(x)也不會有根

其實也不一定要+1, 找個整數來就好了, 只要能說明存在即可

奸詐的地方是這裡的選擇讓後來的g(x)沒有三次項

這有二個很大的好處

一個是這裡剛好一次方項係數為0 (我認為是巧合,所以我有最下面的疑惑@@)

若令u=x^2 , 那根本就是在做u二次式因式分解

只要能在體中分解,就代表可以, 不然就不行

第二個好處就是, 當三次方項係數為0, 就保證能分解成

(x^2+ax+b)(X^2-ax+c)

因為+a和-a的係數能讓你乘開後 三次方項係數為0

然後跟原方程式對照後討論係數a,b,c

===

以上是看解答的事後諸葛解釋

我一直覺得算出g(x)後直接打開(x^2+ax+b)(X^2-ax+c)討論就好了

解答的算出g(x)先求g的因式分解我覺得多此一舉

不曉得這步驟是否為必要的一步

以上 有錯請指正 3Q~
※ 編輯: AntiForm (1.200.160.227), 01/13/2015 02:08:46
※ 編輯: AntiForm (1.200.160.227), 01/13/2015 02:10:30
推 Torreschu   : 你好,謝謝你的解答,我也覺得中間g(x)的分解有點多餘
→ Torreschu   : ,但我還是不清楚他到底怎麼想到令g(x)=f(x+1)可以讓
→ Torreschu   : 原式變那麼簡單處理,這一步超天才der
推 LPH66       : (x+a)^4 = x^4 + 4ax^3 + ...
→ LPH66       : 所以要消掉三次項就把三次項係數取負號除以四代換
→ LPH66       : 這招在(普通實數的)一元三次方程公式解裡有出現
→ LPH66       : 至於一次項會消掉就是數字有出對而已...
→ LPH66       : 至於拆 g(x) 成那個樣子是在說明 g(x) 在 Q(√3) 中
→ LPH66       : 沒有一次因式這樣而已, 這樣子才能確定 g(x) 要能拆
→ LPH66       : 必然會變成 (x^2+ax+b)(x^2-ax+c)
推 Torreschu   : 喔喔,原來三次方要這樣處理啊,學到了,謝謝L大
→ AntiForm    : 了解, 謝謝~