推 ericrobin : 想通了 感謝!! 01/13 23:01
※ 引述《ericrobin ()》之銘言：
: 1. Show that lim Σ[(e^-n)n^k]/k!=0.5 lim {∫[u^(n-1)]e^-u du}/Γ(n) =0.5
: n-> ∞ k=0~n n->∞ 0~n
: 有點詭異, 不知道怎麼整理起....
前者, 卜瓦松分布 X～Poi(n), P[X≦n].
後者, gamma 分布 X～Gamma(n,1), P[X≦n]
其中 n 是 shape parameter.
以上兩種分布都具有相加性, 所以各自可分解為 n 個
i.i.d. r.v.'s 之和,
Poi(n) r.v. 是 n 個 Poi(1) r.v.'s 之和,
gamma(n,1) 是 n 個 gamma(1,1) r.v.'s 之和.
因此. 由中央極限定理可得證結論.
: 2. let A be an event and X=1 (w) show that X is a random varible.
: A
r.v. 的定義是:
X 是 sample space to R*=R∪{-∞,∞} 的函數,
such that for any Borel set in R*, its pre-image is measurable,
and P[X finit] = 1.
欲驗證 X 是 measurable, 其實只需驗證所有形如 (-∞,b]
的 subsets in R* 其 pre-image 都是 measurable.
A 是 event, 也就是說 A 是 measurable.
因 X 的值僅有 0 與 1, 當然有 P[X finite] = 1.
而 R* 中形如 (-∞,b] 的集合, 其 pre-image 只有
空事件, A 的餘事件, 及整個 sample space 這3種, 都是
measurable. 因此, 此 X 符合 r.v. 之定義.
: 3. Let X1,...Xn are independent random varibales from an exponential
: distribution with rate 1, Yi=ΣXj j=1~i and Zi =Yi/Yi+1, i=1,...=n-1,
: Zn=Yn. Show that the random variables Z1,..,Zn are independent.
: 如果n=3 我還能用轉換法解出來, 但不知怎樣做才能推出一般而言都會成立@@
n > 3 與 n=3 方法應該沒有什麼差異.
: 4. Let X1, X2, X3 be a random sample from a Poisson(λ), Y1=X1+X3
: Y2=X2+X3, and Zi=1 i=1,2 Compute the correlation of Z1,Z2.
: (Yi=0)_
: 麻煩大家了Orz
純粹計算, 有什麼困難點?
E[Zi] = E[Zi^2] = P[Yi = 0]
E[Z1*Z2] = P[Y1=0=Y2]
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