※ 引述《ssuin (紫色的雨)》之銘言：
: x和y都為整數
: 請問
: (i)
: (5/x)-(4/y)=3
: (ii)
: (2/x)+(3/y)=1
: 分別有幾組解?
: 一個一個找是沒問題，但如何更有規律的找出答案的組數呢??
: 或者有其他更好的方法嗎?謝謝各位高手們!
設 a,b,c 為整數, (a,b,c)=1, a/x+b/y=c 的 (x,y) 整數解個數為 N
a/x+b/y=c iff ay+bx=cxy 且 x,y≠0 iff (cx-a)(cy-b)=ab
(1) 若 (c,a)=1
N=(ab的因數中,除以c餘a的個數)-1
(2) 若 (c,b)=1
N=(ab的因數中,除c以餘的個數)-1
(3) 若 (c,a)≠1 且 (c,b)≠1
=> (a,b)=1, 設 a2=(a,c), b2=(b,c), a1=a/a2, b1=b/b2, c'=c/(a2b2)
=> (c'b2 x-a1)(c'a2 y-b1)=a1b1, x,y≠0, (c'b2,a1)=1
N=(a1b1的因數中,除以c'b2餘a1的個數)-1
特別地, 若 c=1,則 N=(ab的因數個數)-1
: x和y都為整數
: 請問
: (i)
: (5/x)-(4/y)=3
=> (3x-5)(3y+4)=-20
20的因數中,除以3餘0的有0個
除以3餘1的因數與除以3餘2的因數可配對
=> 20的因數中,除以3餘5的有 (1/2)(2*(2+1)(1+1))=6 個
=> 有 5 組整數解
: (ii)
: (2/x)+(3/y)=1
=> (x-2)(y-3)=6 且 x,y≠0
=> 有 2(1+1)(1+1)-1=7 組整數解
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