※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: 數論不等式
: 試證
: Σ_{n<R} μ(n)^2 τ_k(n) / φ(n) << ( ㏒ R)^k
: 其中 n,k 為自然數 R為正實數 ㏒ 自然對數
: μ(n) Moebius function
: τ_k(n) the number of ways of writing n as a product of k natural numbers
: φ(n) Euler totient function
數論不等式
試證 Σ_{n<R} μ(n)^2 τ_k(n) / φ(n) << ( ㏒ R)^k
其中 n,k 為自然數 R為正實數 ㏒ 自然對數
μ(n) Moebius function
τ_k(n) the number of ways of writing n as a product of k natural numbers
φ(n) Euler totient function
證明
目前為止 我只能證明k=1的情形
τ_1(n)=1
Σ_{n<R} μ(n)^2 τ_1(n) / φ(n)
= Σ_{n<R} μ(n)^2 / φ(n)
| Σ_{n<R} μ(n)^2 / φ(n) | ≦ Σ_{n<R} 1/ φ(n)
我們要證明
Σ_{n<R} 1/ φ(n) = O ( ㏒R)
______________________________________
首先證明
1/ φ(n) < (π^2/6) σ(n)/n^2
設n=p1^a1 p2^a2 ... pl^al
則
φ(n) = n (1-1/p1) (1-1/p2)…(1-1/pl)
n/φ(n) = 1/((1-1/p1) (1-1/p2)…(1-1/pl))
= (1＋1/p1) (1＋1/p2)…(1＋1/pl) / ((1-1/p1^2) (1-1/p2^2 )…(1-1/pl^2))
又
1/((1-1/p1^2) (1-1/p2^2 )…(1-1/pl^2)) < Π_{p} 1/(1-1/p^2)
= Π_{p} (1＋1/p^2 + 1/p^4 + …) = 1+ 1/2^2 + 1/3^2 + … = π^2/6
因此
n/φ(n) < (π^2/6) (1＋1/p1) (1＋1/p2)…(1＋1/pl) ……………(1)
另一方面
σ(n)/n = Σ_{d|n} d/n = Σ_{q|n} 1/q
= (1＋1/p1 + … + 1/p1^a1) ...(1＋1/pl+…＋1/pl^al) ……………(2)
由 (1) (2) 可知 1/φ(n) < (π^2/6) σ(n)/n^2
______________________________________
證明 Σ_{n<R} σ(n)/n^2 = O( ㏒ R)
Σ_{n<R} σ(n)/n^2 = Σ_{n<R} (1/n^2) Σ_{d|n} d
= Σ_{dq<R} 1/(dq^2)
= Σ_{d<R} 1/d Σ_{q<R/d} 1/q^2
= Σ_{d<R} 1/d (ζ(2)+O(d/R))
= ζ(2) ㏒ R + O(1) = O( ㏒ R)
因此
Σ_{n<R} 1/ φ(n) = O ( ㏒R)
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※ 編輯: JohnMash (123.194.229.234), 01/17/2015 00:10:17