[機統] 關於標準常態分佈的題目

[pop10353 (B.Duck)]

應該很簡單，但離我的年代已久，幫人問問看

Z~N(0,1)

show that

1. E(Z^2n)=(2n-1)E( Z^(2n-2) )
2. E(Z^2n+1)=0


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 120.113.185.71
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推 a016258     : Mgf
推 Pieteacher  : Taylor expansion
※ 編輯: pop10353 (120.113.185.71), 01/18/2015 14:00:47
→ goshfju     : Mx(t)=Σt^k/k! * E(X^k)
→ goshfju     : 並將 Mx(t)=e^(t^2/2) 展開
→ goshfju     : 比較係數後則解決
→ yhliu       : 分部積分.
→ yhliu       : ∫z^k e^{-z^2/2} dz = -z^{k-1}e^{-z^2/2}  +
→ yhliu       :                      (k-1)∫z^{k-2}e^{-z^2/2} dz
→ yhliu       : 故 E[Z^k] = (k-1)E[Z^{k-2}] 當 k 為大於1之正整數