[分析] 均勻連續一題

[kyoiku (生死間有大恐怖)]

f(x) = (x^a)*sin(x^b)

在實數上找出所有的 a,b 使得 f 在 (0,1] 上均勻連續


感覺很複雜，我先說說我想怎麼作

1. a = 0 => b >= 0 會均勻連續 (不確定，我用圖形感覺的)

2. b = 0 => 0 <= a <= 1 會均勻連續 (應該是，記得 x^a, a>1好像就會爆衝了)

3. a,b 不為 0 => 我想微分用 MVT 弄成 Lipschitz 條件作

   只要存在 L,M > 0 使得 |f(x)-f(y)| <= L|x-y|^M 那 f 就均勻連續了


不過還是作不太出來, 1. 和 3. 不好解決

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→ jack7775kimo: x^(a-b)*sin(x^b)/x^b 後面那項->1當x->0
→ jack7775kimo: 所以a-b>=0就夠了,其他邏輯上的順序自己想一下吧
→ jack7775kimo: 因為可以連續延拓到[0,1]上 所以均勻連續
→ kyoiku      : b<0時sin(x^b)/x^b不是沒有極限
→ jack7775kimo: 對,我沒注意到,b>=0如上處理(應該是a+b>=0,不是a-b)
→ jack7775kimo: b<0時 我認為需要a+b>=1,這部分你可以反證+MVT
→ jack7775kimo: b<0改正一下,需要a>0應該就夠了
→ jack7775kimo: 證明均勻連續是說明f(0)可以訂成0(用夾擠定理)
→ jack7775kimo: 然後a<0不均勻的話是找一串x_N=[(2N+1/2)pi]^(1/b)
→ jack7775kimo: y_N=(2N\pi)^(1/b),x_N-y_N趨近於0,但f(x_N)-f(y_N)
→ jack7775kimo: 跑到無窮大