Re: [微積] 級數收斂問題

[Eliphalet (敘雅賢慧)]

※ 引述《kero961240 (阿哲)》之銘言：
: 是非題
: 假設Σan 6^n發散,則Σan(-8)^n發散
: 請問這題是對或錯,可否告知原因呢
: 感謝各位神手


  對。 由 root test 且 Σan 6^n發散，可得到


     lim sup (|a_n|)^(1/n) ≧ 1/6


   所以， lim sup (|an(-8)^n|)^(1/n) ≧ 4/3 > 1，故發散


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推 alice90426  : 想問一下root>1跟div.這兩件事是iff嗎
            不是喔
※ 編輯: Eliphalet (114.46.210.81), 01/26/2015 11:07:15
推 alice90426  : 那第2行不等式怎麼得到的?
           所以我是大於等於 1 啊 ？
※ 編輯: Eliphalet (114.46.210.81), 01/26/2015 11:54:39
推 alice90426  : 了解了 剛剛腦子打結
→ alice90426  : root<1 => conv. 表示 div.來自root>=1
→ yyc2008     : 但是有個問題 E大證的是能夠用root test的特例 還沒
→ yyc2008     : 有證明所有包含不能夠用root test證明的情況?
→ yyc2008     : 有等於  那就可以了
推 yuyumagic424: 那個極限有可能是不存在的
  real sequence 的 limit superior 一定存在(即使有可能是 ±∞)

  如果不能接受這個版本的 root test，那換以下這個方法


    如果 Σan(-8)^n 收斂，則  lim an(-8)^n = 0。

    取足夠大的 N 使得當 n≧N， 8^n|a_n| < 1

     => 6^n |a_n| < (3/4)^n , n≧N

    因此 Σan 6^n (絕對)收斂 (矛盾)

※ 編輯: Eliphalet (114.46.210.81), 01/26/2015 14:42:13
推 yuyumagic424: 抱歉 看太快 沒看到sup