Re: [其他] 數論不等式

[Sfly (topos)]

※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: 數論不等式
: 試證
: Σ_{n<R} μ(n)^2 τ_k(n) / φ(n)  << ( ㏒ R)^k
: 其中 n,k 為自然數 R為正實數 ㏒ 自然對數
: μ(n)   Moebius function
: τ_k(n) the number of ways of writing n as a product of k natural numbers
:  φ(n)  Euler totient function

Since τ_k(p) / φ(p) = k/(p-1), so

Σ_{n<R} μ(n)^2 τ_k(n) / φ(n)

<= Π(1+k/(p-1)) << 1/Π(1-k/p)  << 1/Π(1-1/p)^k  << (log R)^k
   p<R                p<R             p<R

The last part is followed from the Mertens' theorem.

The case with the restriction gcd(n,W)=1 is similar.

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推 JohnMash    : Great