推 kyoiku : 先謝 所以 x=0 時 g(0,y)->0 as y->oo 嗎 01/29 23:11
→ kyoiku : 可是 lim(y->oo) g(x,y) 應該是 x 的函數吧 01/29 23:12
推 kyoiku : 3) 是用隱函數還反函數 @@ 01/29 23:19
推 kyoiku : 為什麼 1-g ~ 2 exp(-2(1+y^2)(x+o(1))) ? 01/30 00:21
※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: 四小題只會作一半，剩下請大師出手，ORZ
: Let g(x,y) be a function satisfying
: -1 < g(x,y) < 1 for x in R , y > 1, and
: ln[(1+g(x,y))/(1-g(x,y))] + (2y)arctan[yg(x,y)] = 2(1+y^2)x
: a) Show that g(x,y) is increasing in x (用反證，已解決)
: b) Find lim(y->oo) g(x,y)
: ln[(1+g(x,y))/(1-g(x,y))]/2(1+y^2) + (y)arctan[yg(x,y)]/(1+y^2) = x
: arctan 那項極限必為 0 => lim(y->oo) g(x,y) = 1, if x>0 (不確定對不對)
: -1, if x<0
不要忘了 x=0
: c) 證明 g(x,y) 在其定義域上可微
: 我是想證它是 C^1，g(x,0) 可解出為 [-1+e^(2x)]/[1+e^(2x)] 是 C^1，
: 但 g(0,y) 這個函數我解不出來，ORZ
不是直接用 inverse function theorem 嗎？不要解函數方程…
: d) Find lim(y->oo) g_x(x,y)
: g(x,y) 對 x 的偏微分 g_x(x,y) 我解出為 [1-g^2(x,y)][1+(y^2)(g^2(x,y))]，
: 左邊極限是 0 右邊極限是 oo，接下來沒想法，orz
x>0 則 1-g ~ 2 exp(-2(1+y^2)(x+o(1)))
所以 1-g^2 ~ 4 exp(...)
所以 (1-g^2)(1+y^2g^2) ~ 4 exp(...)(1+y^2 +y^2 exp(...))
而 exp(...) → 0 比 y^2 → ∞ 快
x<0, x=0 同理
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『我思故我在』怎樣從法文變成拉丁文的：
je pense, donc je suis --- René Descartes, Discours de la Méthode (1637)
ego sum, ego existo --- ____, Meditationes de Prima Philosophia (1641)
ego cogito, ergo sum --- ____, Principia Philosophiae (1644)
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