[中學] 遞迴數列解法一問

[dagood (不是姚仁傑喔~~)]

        A1=1 , An+1=(5An+3)/(An+3) ,求An

        A1=1 A2=2   現在令 An = Pn/Qn   所以P1=1,Q1=1,P2=2,Q2=1

        An = Pn/Qn 代入An+1=(5An+3)/(An+3)

        得 Pn+1/Qn+1 = (5Pn+3Qn)/(Pn+3Qn)

        得 Pn+1=5Pn+3Qn
           Qn+1=Pn+3Qn

        => Qn+2 - 8Qn+1 + 12Qn=0

        所以設 Qn= a*2^n + b*6*n , n=1,2 代入  得 a=5/8 , b=-1/24

        所以Qn=5/8*2^n - 1/24*6^n 代入Qn+1=Pn+3Qn

        得 Pn=-5/8*2^n - 3/24*6^n

        進而得到 An=(-5/8*2^n - 3/24*6^n)/(-5/8*2^n - 3/24*6^n)

        答案根本不對

        我要問的是 為什麼我這樣的方法算出來會有錯誤呢
        應該這麼說好了 我以前算非線性遞迴 都用這各方法做
        大部分都對,但是遇到了這題 卻怎麼做都是錯
        還是說 我這各方法本身就有問題 有瑕疵 ? 想請板上朋友解惑
        想知道這麼做 錯誤是發生在哪裡?  thx~~

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推 alice90426  : Pn+1/Qn+1=(5Pn+3Qn)/(Pn+3Qn)=2/1=4/2 答案不同
→ someone     : 第二行找的P1 Q1 P2 Q2就會出現問題了
→ dagood      : 請問1F,如果我用原分數 就是4/2 去解,是否就會正確?
→ dagood      : 剛才實驗過,Q1=1,Q2=2帶入去做,還是不對....
→ dagood      : 所以此作法是不是在分子分母互質情況下才會對?
推 alice90426  : 但你不知道第n項的原始分數約分了多少
→ dagood      : 理論上若分子分母確定永遠互質 是否應該就會對?