→ Sfly : the same thing, as k/(p-1)=k/p+O(1/p^2), 01/31 22:25
→ Sfly : (in view of <<_k) 01/31 22:26
※ 引述《Sfly (topos)》之銘言：
: ※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: : 數論不等式
: : 試證
: : Σ_{n<R} μ(n)^2 τ_k(n) / φ(n) << ( ㏒ R)^k
: : 其中 n,k 為自然數 R為正實數 ㏒ 自然對數
: : μ(n) Moebius function
: : τ_k(n) the number of ways of writing n as a product of k natural numbers
: : φ(n) Euler totient function
: Since τ_k(p) / φ(p) = k/(p-1), so
: Σ_{n<R} μ(n)^2 τ_k(n) / φ(n)
: <= Π(1+k/(p-1)) << 1/Π(1-k/p) << 1/Π(1-1/p)^k << (log R)^k
: p<R p<R p<R
: The last part is followed from the Mertens' theorem.
: The case with the restriction gcd(n,W)=1 is similar.
Since τ_k(p) / φ(p) = k/(p-1), so
Σ_{n<R} μ(n)^2 τ_k(n) / φ(n) <= Π_{n<R} (1+k/(p-1))
接下來 我認為應改成
(1+k/(p-1)) < (1 + 1/(p-1))^k (二項式)
及 1 + 1/(p-1) = p/(p-1) = 1/((p-1)/p) = 1/(1 - 1/p)
故
Σ_{n<R} μ(n)^2 τ_k(n) / φ(n) <= Π_{n<R} 1/(1 - 1/p)^k << ( ㏒R)^k
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