[分析] l^2 空間中有界閉集不緊緻的覆蓋如何找?

[kyoiku (生死間有大恐怖)]

l^2 = {x = (x1,x2,x3....), xi in R, sigma(i from 1 to oo) xi^2 < oo}

距離 |x| = [sigma(i from 1 to oo) xi^2]^(1/2)

要找其上的有界閉集但不是緊緻集的例子


記得是取 l^2 上的單位閉球 B，然後令

e_n = (0,0,...,0,1,0,...) 只有第 n 個是 1 其他是 0

但是 B 上的開覆蓋要怎取才能讓它的有限子覆蓋不會包含所有 e_n 呢

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推 windlike01  : {e_n:n=1,2,...}即為所需的例子
→ windlike01  : 開覆蓋可以考慮{B(e_n;1):n=1,2,...}
→ kyoiku      : 可是 (-1,0,0,0,...) 和 e_n 距離都 > 1, 不在裡面
→ kyoiku      : 如果取{B(正負e_n,根號2):n=1,2,...}呢
推 windlike01  : {e_n:n=1,2,...}是有界的閉集,但不緊緻.
→ windlike01  : 這個集合與 -e_1 無關,為何要考慮 -e_1 呢?
→ kyoiku      : 因為題目是要證l^2上的單位閉球不cpt