Re: [分析] l^2 空間中有界閉集不緊緻的覆蓋如何找?

[kyoiku (生死間有大恐怖)]

※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: l^2 = {x = (x1,x2,x3....), xi in R, sigma(i from 1 to oo) xi^2 < oo}
: 距離 |x| = [sigma(i from 1 to oo) xi^2]^(1/2)
: 要找其上的有界閉集但不是緊緻集的例子
: 記得是取 l^2 上的單位閉球 B，然後令
: e_n = (0,0,...,0,1,0,...) 只有第 n 個是 1 其他是 0
: 但是 B 上的開覆蓋要怎取才能讓它的有限子覆蓋不會包含所有 e_n 呢

昨天想出來的

取開球 B_1(0), B_√2(e_n), n 屬於 Z - {0},
例: e_(-2) = 第 2 個元素 -1，其他是 0。

1. 每個 B_√2(e_n) 只會包含其圓心 e_n，其他 e_n 不會
2. x 屬於 int(B) 必落在 B_1(0), x 屬於 B 的邊界必落在某個 B_√2(e_n)，

   若否 => |x-e_n| >= √2 for each n (設 x = (a_1,a_2,...))

   n>0 => [(a_1)^2 + ... + (a_n - 1)^2 + (a_n+1)^2 + ...]^1/2 >= √2
       => [2(1-a_n)]^1/2 >= √2
       => a_n <= 0

   n<0 => a_n >=0

   得 a_n = 0 for each n, 矛盾。故 x 必落在某個 B_√2(e_n)

所以 B_1(0), B_√2(e_n), n 屬於 Z - {0} 為 B 的一個開覆蓋，
若 B 為 compact => 有有限子覆蓋，但每個 B_√2(e_n) 只會包一個 e_n，
而 e_n 有無限多個，矛盾。故 B 非 compact



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.40.13.25
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→ carelai     : 為什么這個例子可以有界閉集不compact？有界閉集是
→ carelai     : 緊集不是定理嗎？
→ Eliphalet   : 樓上的你要不要再看一下 Heine–Borel theorem 的
→ Eliphalet   : 條件