Re: [中學] AMC10兩道題目

[LPH66 (1597463007)]

※ 引述《revengeiori (大笨宗)》之銘言：
: 1.
: 八人圍成一桌而坐，每人握有一公正硬幣，八個人都投擲一次硬幣後，若出現正面則站起
: 來，反面則坐著，試問：
: 沒有相鄰的兩人都是站立的機率為多少？
八人圓桌不連號

沒人站立 → 1 種

一人站立 → 8 種

二人站立 → 8*5/2 = 20 種
            (第二個站著的有五種選法, 但每種結果會被算兩次)

三人站立 → 8*2 = 16 種
            (基本形是 135 跟 136 兩種, 其他的都是這兩種去旋轉來的
             135 → 246、357、468、571、682、713、824
             136 → 247、358、461、572、683、714、825
             之所以基本形只有這兩種可以考慮他們之間坐著的人數即知)

四人站立 → 2 種 (只有 1357 跟 2468 兩種)

總計 47 種, 機率 47/256

: 2.
: 有一邊長為1之正方形，在正方形的邊界上任取兩點，若這兩點的連線段長至少是1/2的機
: 率是多少？
http://www.quora.com/Let-S-be-a-square-of-side-length-1-Two-points-are-chosen-independently-at-random-on-the-sides-of-S-The-probability-that-the-straight-line-distance-between-them-is-at-least-one-half-is-a-b-pi-c-where-a-b-and-c-are-positive-integers-and-gcd-a-b-c-1-What-is-a+b+c

(短網址 http://ppt.cc/Q8II )

轉述他的做法如下:

(1) 若兩點在對邊 (機率 1/4), 則條件必成立；

(2) 若兩點在鄰邊 (機率 1/2), 則建立坐標系使這兩鄰邊交點為原點

    且兩點坐標為 (0,a) 及 (b,0), 其中 0≦a,b≦1

    兩點距離至少 1/2 的條件即為 a^2+b^2≧1/4
   b
  1│           若將符合條件的 a,b 畫成另一個坐標系
            
                則此條件的範圍是類似左圖的綠色區域
      ◥    
  ＿        ＿  (正方形挖掉左下角半徑 1/2 的四分之一圓)
   │       1 a
                面積易求得為 1-π/16, 這即是這狀況下的機率

(3) 若兩點在同一邊 (機率 1/4), 則建立坐標系使兩點坐標為 (a,0), (b,0)

    兩點距離至少 1/2 的條件即為 |a-b|≧1/2
   b
  1│           在 a,b 座標系上是左邊綠色的這一塊
      ◢    
    ◢          面積易知為 1/4, 這即是這狀況下的機率
          ◢
  ＿    ◢  ＿
   │       1 a

總計所求機率為 (1/4)(1) + (1/2)(1-π/16) + (1/4)(1/4) = (26-π)/32

: 小弟在此先謝過大家了

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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；        
    也有人喜歡邊聽歌邊打字。      
        但是，我有個請求，          
            選字的時候請專心好嗎？
                                      -- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1423243141.A.361.html
→ LPH66       : 後一題的連結是我 google 以下關鍵字搜到的第一條：
→ LPH66       : 「square random two point length」
→ LPH66       : 不過那裡的回應有人說 AMC12 也有出這題 (思)
→ yyc2008     : 不太懂怎麼將線轉換成面積比?
→ yyc2008     : 看懂了
→ henry860520 : 這是AMC12的 還有第一題要考慮沒人站著
→ LPH66       : 喔對, 要加沒人站著的 1 個, 所以是 47/256
推 revengeiori : 圖文並茂，感謝前輩，懂了!
加進沒人站立的狀況
※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 02/07/2015 03:35:30
推 x565x       : 畫圖有點猛
→ yyc2008     : L大還做過動畫 真得很強 那個小圓繞大圓 不知道用什
→ yyc2008     : 麼軟體做到的
→ LPH66       : 那個是 Mathematica 大概一個小時的成果 XD
推 EdisonX     : 一小時... Orz
→ yyc2008     : 一個小時就能做出來 已經非常棒了 我根本不知道怎麼
→ yyc2008     : 作 請問有什麼資料能夠教導用Mathematica作出來嗎?
→ yyc2008     : 我看到的書都是輸入指令 很無聊又沒用
推 nonumber    : 每相鄰的兩人都站著=每個都站著 錯了嗎
→ yyc2008     : 可以有像是xxooxxxx
→ understar   : 機率那題我在監考的時候只會用積分做...
→ LPH66       : >nonumber 題意是「不存在相鄰兩人皆站立」