作者LeonYo (僕は美味しいです)
看板Math
標題Re: [中學] AMC10兩道題目
時間Sun Feb 8 02:19:32 2015
令 A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1).
且令 M 為 AB 中點, P 為 AM 上動點, R 在 DA 上且 PR = 1/2
令 AP = x
函數 f(x) 為給定 P 點後，在四邊形上任選一點 Q 與 P 點距離大於或等於1/2的機率。
即 f(x) = [(PB - 1/2) + BC + CD + DR]/4
= [(1/2 - x) + 2 + (1- sqrt(1/4 - x^2)]/4
= (1/4)(7/2 -x -sqrt(1/4 -x^2)
所求機率 = [int_0^(1/2) f(x) dx]/[int_0^(1/2) dx]
= (26 - pi)/32
這一題我是憑感覺這樣列式子算的，
但其實對於幾何機率沒什麼把握，
請問上述的作法是對的嗎？
※ 引述《LPH66 (1597463007)》之銘言：
: ※ 引述《revengeiori (大笨宗)》之銘言：
: : 2.
: : 有一邊長為1之正方形，在正方形的邊界上任取兩點，若這兩點的連線段長至少是1/2的機
: : 率是多少？
: http://www.quora.com/Let-S-be-a-square-of-side-length-1-Two-points-are-chosen-independently-at-random-on-the-sides-of-S-The-probability-that-the-straight-line-distance-between-them-is-at-least-one-half-is-a-b-pi-c-where-a-b-and-c-are-positive-integers-and-gcd-a-b-c-1-What-is-a+b+c
: (短網址 http://ppt.cc/Q8II )
: 轉述他的做法如下:
: (1) 若兩點在對邊 (機率 1/4), 則條件必成立；
: (2) 若兩點在鄰邊 (機率 1/2), 則建立坐標系使這兩鄰邊交點為原點
: 且兩點坐標為 (0,a) 及 (b,0), 其中 0≦a,b≦1
: 兩點距離至少 1/2 的條件即為 a^2+b^2≧1/4
: b
: 1│ 若將符合條件的 a,b 畫成另一個坐標系
:
: 則此條件的範圍是類似左圖的綠色區域
: ◥
: ＿ ＿ (正方形挖掉左下角半徑 1/2 的四分之一圓)
: │ 1 a
: 面積易求得為 1-π/16, 這即是這狀況下的機率
: (3) 若兩點在同一邊 (機率 1/4), 則建立坐標系使兩點坐標為 (a,0), (b,0)
: 兩點距離至少 1/2 的條件即為 |a-b|≧1/2
: b
: 1│ 在 a,b 座標系上是左邊綠色的這一塊
: ◢
: ◢ 面積易知為 1/4, 這即是這狀況下的機率
: ◢
: ＿ ◢ ＿
: │ 1 a
: 總計所求機率為 (1/4)(1) + (1/2)(1-π/16) + (1/4)(1/4) = (26-π)/32
: : 小弟在此先謝過大家了
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※ 編輯: LeonYo (114.42.228.83), 02/08/2015 02:21:12
推 LPH66 : 嗯, 其實我一開始的直覺做法也是積分 02/08 09:00
→ LPH66 : 是後來想說這既然是 AMC 的題目應該有初等做法 02/08 09:00
→ LPH66 : 所以跑去 google 才找到那個連結的 02/08 09:00
→ LPH66 : 你的式子跟我當初的做法應該是一樣的 02/08 09:01
→ yyc2008 : f(x) = [(PB - 1/2) + BC + CD + DR]/4 (PB - 1/2)? 02/08 15:10
推 LPH66 : 可以想像以 P 點為圓心 1/2 為半徑畫圓 02/08 18:45
→ LPH66 : 那 AB 邊上符合條件的就是圓外那一小段 02/08 18:45
→ LPH66 : 其長度正是 PB - 1/2 02/08 18:45
→ LPH66 : 以這種觀點 R 即為圓與 DA 邊交點 02/08 18:46
→ LPH66 : DR = 1-√(1/4-x^2) 也就容易導出了 02/08 18:46
→ yyc2008 : 謝謝L大 我原本是想不是應該是MB嗎? MB=1-x-1/2但是 02/08 23:22
→ yyc2008 : 不知道怎麼直接看出1/2-PA 後來畫個圖看出來 平移 02/08 23:23