※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: 令
: Λ_k(n) = Σ_{d|n} μ(d) ( ㏒(n/d))^k
: 試證
: 當 n 的質因數個數大於k時 Λ_k(n) = 0
令
Λ_k(n) = Σ_{d|n} μ(d) ( ㏒(n/d))^k
試證
當 n 的質因數個數大於k時 Λ_k(n) = 0
證明
用歸納法
設n有k+1個質因子 p1,p2,...,p_{k+1}
Λ_k(n) = Σ_{d|n} μ(d) ( ㏒(n/d))^k
= Σ_{d|n} μ(d) ( ㏒n - ㏒d )^k
= Σ_{m} (-1)^m C(k,m) (㏒n)^(k-m) Σ_{d|n} μ(d) ( ㏒d )^m (二項式)
由歸納法 只要證明m=k 這一項為0即得證
欲證
Σ_{d|p1 p2 ... pk p_{k+1}} μ(d) ( ㏒d )^k = 0
d是 p1 p2 ... pk p_{k+1} 的因子
把d分成二類 一類是不包含p_{k+1}的因子 一類是包含p_{k+1}的因子
則
Σ_{d|p1 p2 ... pk p_{k+1}} μ(d) ( ㏒d )^k
= Σ_{d|p1 p2 ... pk } μ(d) ( ㏒d )^k
+ Σ_{d|p1 p2 ... pk } μ(d p_{k+1} ) ( ㏒(d p_{k+1}) )^k
= - Σ_{d|p1 p2 ... pk } μ(d) (( ㏒d + ㏒(p_{k+1}) )^k - (㏒d)^k)
上式經二項式展開 留下的 ㏒d 的冪次 其次數均小於k
由歸納法 得知上式為0 得證
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