Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[alfadick (悟道修行者)]

PS: 我這篇沒有要直接回覆原PO的問題 只是為了進一步闡述我推文的東西

※ 引述《sightseer ()》之銘言：
: 標題: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義
: 時間: Tue Feb 17 19:39:52 2015
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: 常見的證明lim sinx/x=1 as x approaches 0的方法如下(夾擠定理)
:
: http://tinyurl.com/kgkuehy
:
: 其中用到 扇形OKA的面積=1/2*R^2*x
:
: 但是這已經先假設我們已知如何定義並計算扇形面積了
:
: 所以如果"面積"概念尚未定義的情況下
:
: lim sinx/x=1如何證明?
:
: --
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: ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424173195.A.25F.html
: 推 JohnMash    : sin x/ x ---->  cos x/ 1 ------> 1                02/17 19:48
: → alfadick    : 一般大一微積分的系統而言,sin'=cos先用到這個limit  02/17 20:18
: → alfadick    : 導致循環論證. 除非用非常見的系統.                 02/17 20:19

我所謂非常見的系統，指的是將 sin, cos 等六個三角函數的定義換方式定義

也就是不要照高中數學的那套定義(單位圓然後blah blah blah)來定義。

譬如有人把 sin,cos 定成

若函數f,g: R->R 滿足

f'=g, g'=-f, f(0)=0, g(0)=1

則稱f為正弦函數, 特記為sin；
    g為於餘弦函數, 特記為cos。


然後再用微分方程/冪級數討論、證明符合這樣的要求的函數f及g都存在且唯一。

(細節我手上的書有寫 但我沒有花時間讀過 所以這邊只是文字帶過去XD)

(也或許用存在唯一性定理就可以了, 不需要用到冪級數證,

因為一用到冪級數, 又得引進那套冪級數那套龐大的理論,

好比逐項微分什麼之類的, 挺累贅的.

但話再講回來, 存在唯一性定理也輕鬆不到哪去xdd)


這樣sin'=cos的證明就不需要動用到 lim(x->0) sinx/x=1 這個先備定理了

(因為利用這種定義方法，sin'=cos就是定義)


然後你再付出一定的代價證明羅必達，就可以迴避所謂面積/扇形面積的概念來證

lim(x->0) sinx/x=1


l'Hopital's rule也有分 weak/strong version,

兩個version要證明所須付出的代價不同, 一個證明三行就結束, 一個要寫很多行.

手上沒書, 懶得查(我也沒背)是不是以這例子光weak version就能用


但我覺得或許還是有不用動用到l'Hopital's rule的證明. 等其他人補充.


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※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 20:44:22
推 carelai     : 感覺很妙。不過我還沒有check這個idea是否完全正確
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 20:45:53
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 20:46:29
推 jacky7987   : 直接quote一階線性系統存在唯一定理(笑
→ jacky7987   : 另一個定法就是直接定義 sinx=他的冪級數展開
→ jacky7987   : 那這樣的做的話那個極限就幾乎是 trivial
推 jacky7987   : Rudin 的高微就有用這個方法XD
→ alfadick    : 喔對冪級數完就不用羅必達 之前冪級數沒念很深xd
推 gj942l41l4  : 你還差確認極限存在  極限存在才能用羅必達
 lim(x->0)sinx=0 存在不用驗證,  因為已知sinx可微分,

 所以連續, 所以極限值等於函數值

→ gj942l41l4  : 還有你要說明f就是sin，g就是cos
→ gj942l41l4  : 即便唯一   為何他們和一般常見的定義等價
要證明這種方法定義出來的sin, cos和一般定法的sin, cos等價很簡單

因為滿足這樣的f,g(ie. ode訂法的sin,cos)是唯一的,

又一般訂法的 sin,cos滿足這些性質(sin'=cos, cos'=-sin, sin0=0, cos0=1)

所以我們訂法的 sin,cos 和一般訂法的 sin,cos完全一樣


→ gj942l41l4  : 當然用冪級數展出來應該是一樣啦  不用的話就
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 23:53:08
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/17/2015 23:54:22
推 gj942l41l4  : 是要確認sinx/x極值存在  不是sinx存在就好
→ gj942l41l4  : 還有你此時並不知道普遍定義的sin微分是什麼
→ gj942l41l4  : 用一般定法的sin'=cos的說法來證  是自證了
沒有自證 我覺得應該是你誤解我上面的說法

不如你說清楚一點哪裡發生自證 來討論看看
推 gj942l41l4  : 啊想錯了  第一句當我沒說
→ gj942l41l4  : 要確認的是sin'/x'存在  但這trivial
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/18/2015 13:29:08
推 gj942l41l4  : 「一般定義」的sin'=cos  是利用到sinx/x極限的結果
→ gj942l41l4  : 而你拿這點先說f==sin，才去證sinx/x的極限  不就自
→ gj942l41l4  : 證?
→ gj942l41l4  : 你能證得的只有lim f/x=0  至此你還沒跟sin扯上關係
→ gj942l41l4  : =1   typo抱歉
→ alfadick    : 我們的分歧應該是中文閱讀的理解不同的問題~~
→ alfadick    : 我跟你後面討論的不同的東西XD 難怪互異
我後面跟你討論的都是在回答你的這個問題：

gj942l41l4 : 還有你要說明f就是sin，g就是cos
gj942l41l4 : 即便唯一   為何他們和一般常見的定義等價
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/19/2015 12:15:12