Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[gj942l41l4 (魯魯)]

: 要證明這種方法定義出來的sin, cos和一般定法的sin, cos等價很簡單
: 因為滿足這樣的f,g(ie. ode訂法的sin,cos)是唯一的,
: 又一般訂法的 sin,cos滿足這些性質(sin'=cos, cos'=-sin, sin0=0, cos0=1)
: 所以我們訂法的 sin,cos 和一般訂法的 sin,cos完全一樣

我不知道我有沒有理解錯你的語意啦
但我覺得我們要討論的都是f==sin, g==cos 這個問題
然後你的解釋方法是黃色這句，沒錯吧？

可是黃色這句話的前提就是lim sinx/x = 1

而你這篇前面通篇推論完後，得到的結論是lim f/x = 1
你還不知道sin'=cos，甚至該說，你還不知道lim sinx/x = 1
（因為至此你還沒確認f==sin）

所以你拿sin'=cos來說明f==sin，我認為是自證了
不知道我有沒有誤解到你的意思或你誤解我意思
用回文的應該比較輕楚討論(?)

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剛剛跟朋友討論了一下，發現最根本的問題在於

「在不知道sin'=cos的情況下，
  sin的級數定義(或其它定義)如何和sin的幾何定義連結？」

如果沒辦法去確定這件事情
上面有人回文說的用級數定義去證，或定sinz=(e^iz - e^-iz)/2
可能都沒辦法用來證明sinx/x的極限

但怎麼連我一時想不到，有人手邊有把它們連結起來的方法嗎？
不然過完年再來想想或翻書，過年先~~

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※ 編輯: gj942l41l4 (59.115.48.88), 02/19/2015 15:51:53
推 alfadick    : 用ODE定義正餘弦函數的方法是：
→ alfadick    : 若函數f,g: R->R 滿足
→ alfadick    : f'=g, g'=-f, f(0)=0, g(0)=1
→ alfadick    : 則定義此函數f為正弦函數sin, g為餘弦函數cos
→ alfadick    : 可以驗證這裡的函數f,g一定存在，且一定唯一
→ alfadick    : 為了底下說話方便區分，稱這種sin,cos為O式sin,cos
→ alfadick    : 所以說, 為了處理原po指出的引進面積的那個瑕疵
→ alfadick    : 整個公理系統(是這樣講?)大家都採用O式sin,cos
→ alfadick    : 揚棄高中數學的那種單位圓的sin,cos訂法這樣.
→ alfadick    : 上文的「可以驗證」指的是用冪級數跟簡單分析手段可
→ alfadick    : 以驗證上述定義中的f,g必定存在且唯一
→ alfadick    : 再來就是回答你在之前文章推文問的, O式訂法的sin
→ alfadick    : 跟cos和單位圓訂法的sin,cos是一樣、是等價的嗎？
→ alfadick    : 因為單位圓訂法的sin,cos符合上述那個定義中的f,g
→ alfadick    : 的性質，又有證過f,g是唯一，因此兩種正餘弦根本是
→ alfadick    : 同一種東西，因此等價
→ alfadick    : 當然, 當今數學單位圓訂法的sin微分為什麼會變cos
→ alfadick    : 我不需要知道, 反正我已經訂出O式sin,cos, 我的定義
→ alfadick    : 才是定義, 其它的定義我不需要去理會.
→ alfadick    : 因此當有人問起, ODE這種定法的sin和一般現在人訂的
→ alfadick    : sin會是同個函數嗎的時候，我不用幫他們想他們的
→ alfadick    : sin的微分為什麼會是cos
→ alfadick    : 以上是我的思考意思~~
→ gj942l41l4  : 那我今天再問你一個問題，為何sin微分會是cos?
→ gj942l41l4  : 這時你該怎麼證  你還不是要用到sinx/x的極限
→ gj942l41l4  : 但你在證sinx/x的極限時又跟我說你不知道為何sin'=c
→ gj942l41l4  : os但你用到了？
→ gj942l41l4  : 你不能用sin是你自己訂的帶過一切，你還是要把它跟
→ gj942l41l4  : 普世數學連結起來
→ alfadick    : 不是啊 我又不質疑普世的sin定義有錯= =
→ alfadick    : 只是如果我是幾個世紀前的學者,我發覺普世認知
→ alfadick    : 的sin的性質很有問題 也就是sin'=cos邏輯推導很有
→ alfadick    : 問題, 那我就自己創造ODE式的定義來訂sin跟cos
→ alfadick    : 這些sin,cos不只符合sin'=cos,還符合普世的sin的
→ alfadick    : 「所有的性質」，包含商數關係、正弦定理、餘弦定理
→ alfadick    : 從今天起, 別人定義的sin、普世定義的sin沒有了
→ alfadick    : 我的sin就是世界一切的準則
→ gj942l41l4  : 所有的性質都符合  r u sure?
→ gj942l41l4  : 沒證不能自己宣稱啊
→ gj942l41l4  : 如果你一個一個證出來  當然ok
→ gj942l41l4  : 但這不可能  所以你必須證等價
→ gj942l41l4  : 最簡單的問題  你用你的定義如何說明sin=y/r?
→ gj942l41l4  : 如果沒說明這件事  你提出來的只是一個同名函數
→ gj942l41l4  : 但此sin非彼sin  你這樣並沒有符合題意
→ gj942l41l4  : 另外「所有性質相同」著句話implies你吧sin微分視為
→ gj942l41l4  : 已知
→ gj942l41l4  : 不然你怎麼會知道相同？
推 LPH66       : O式sin的微分確實是已知啊, 根據定義那是O式cos
→ LPH66       : 等價他上面有說, 符合O式定義的函數組唯一存在
→ LPH66       : 這就是他的"等價證明"
→ LPH66       : 也就是說, 即使我不知道某個 p() 跟 q() 是怎麼定的
→ LPH66       : 但只要他的微分跟我的微分一樣, 他的p,q滿足O式定義
→ LPH66       : 那我就能說這個 p,q 就是我的O式sin,cos
→ LPH66       : 所以所有 p,q 滿足的性質O式sin,cos都會滿足
→ gj942l41l4  : O式的sin已知  但一般的sin未知啊
→ gj942l41l4  : 那你要怎麼說O式的sin和一般的sin微分一樣
→ gj942l41l4  : 要說他們微分一樣  代表你兩個都要知道
→ gj942l41l4  : 當然你可以不用知道它怎麼來的  但這就失去了這個證
→ gj942l41l4  : 明在微積分上的意義
→ gj942l41l4  : 就像說「我不用知道sin'=cos怎麼來的，但我一樣能用
→ gj942l41l4  : 羅必達」一樣
→ gj942l41l4  : 這句是對的，但這個證明的目的是要找出sin'是什麼，
→ gj942l41l4  : 這樣證並不合適
推 LPH66       : 我想你大概搞混什麼東西了...
→ LPH66       : 一般的 sinx/x→1 的證明當然還是從單位圓下手
→ LPH66       : 畢竟那就是一般的 sin 的定義方式
→ LPH66       : 然後從這裡得到 sin'=cos 也是什麼問題都沒有
→ LPH66       : 到這裡都跟O式定義無關
→ LPH66       : 接下來是O式定義的那一條路, 那裡證明了符合ODE條件
→ LPH66       : 的函數組唯一存在, 叫它O式sin,cos
→ LPH66       : 那裡也跟單位圓一點關係都沒有
→ LPH66       : 最後是兩條路的交錯, 由於一般定義的 sin,cos 符合
→ LPH66       : ODE 條件, 由O式定義論證證明該函數組唯一
→ LPH66       : 故一般定義的sin,cos跟O式sin,cos是同一組
→ LPH66       : 這跟O式sin符不符合sinx/x→1也是沒有關係的
→ LPH66       : 我大概猜到你的問題了...O式定義必須要把sin跟cos
→ LPH66       : 一起合起來看, 所以我的推文裡一直都是寫「函數組」
→ LPH66       : 因此以O式定義要證sinx/x→1就一定會拉進O式cos進來
→ LPH66       : 這跟一般的sin'=cos的證明完全無關
→ LPH66       : 也就是說,單位圓定義要由sinx/x→1才能推出sin'=cos
→ LPH66       : 但O式定義則sin'=cos是定義, sinx/x→1可由這證出
→ LPH66       : 雖然最後都能得到這兩性質成立, 但邏輯方向是不同的
→ gj942l41l4  : 你這樣說代表你單位圓定義出發要重證一次sinx/x的極
→ gj942l41l4  : 限
→ gj942l41l4  : 這樣當然沒問題  只是多此一舉
→ gj942l41l4  : 而如果你不把這兩項連結  你證出來的永遠只是f/x的
→ gj942l41l4  : 極限，你的sin和數學書籍上的sin不一樣