› 看板 Math 關於我們 聯絡資訊
作者alfadick (悟道修行者)
看板Math
標題Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義
時間Fri Feb 20 23:35:23 2015
※ 引述《secjmy (大雄)》之銘言： : 我大概知道gj大要問的問題是什麼，因為我也有相同的問題要問XD : 整理一下大家所說的東西 : 以下稱一般所定義的正弦函數為Sin，餘弦函數為Cos : Goal: 想證lim_{x→0}Sin(x)/x=1 (姑且稱為Theorem 1好了) : A. 一般的架構: : A.1 從單位圓出發，定義Sin和Cos : A.2 由A.1，再證明Theorem 1 (這裡當然不會有羅必達) : A.3 由A.2，我們還可以推得Sin'=Cos, Cos'=-Sin : B. a大所說的架構: : 我們想「不用畫扇形的方法證明Theorem 1」 : 想法: 從Sin'=Cos，再加上羅必達，得到Theorem 1 : B.1 從一組ODE開始，即 : f'=g, g'=-f } (O)式 : f(0)=0, g(0)=1 } : 我們可以用一些分析的方法證明，微分方程組(O)存在唯一解，令為 : f=sin, g=cos : B.2 欲證Sin'=Cos, Cos'=-Sin，此時我們只要驗證Sin和Cos滿足(O)式 : 我們開始驗證 : Sin(0)=0, OK! Cos(0)=1, OK! : Sin'=Cos 欸等一下!!!這個要怎麼來??? : 於是卡在這邊，我們無法驗證Sin和Cos是否滿足(O)式 : 我想gj大應該就是要問這個問題吧 : 我和gj大有同樣的疑問，希望各位大大指點 : 大家別忘了我們的目標是證明lim_{x→0}Sin(x)/x=1 維持你的符號, 小寫的sin, cos代表單位圓式的定義 這個世界上有一大堆 motivation 跟 observation 可以令我們發現 sin'=cos, cos'=-sin 再講一次, 這個世界上有一大堆 motivation 跟 observation 可以令我們發現 sin'=cos, cos'=-sin 哪怕你是做純術研究, 或者做物理研究, 或甚至你只是單純畫個什麼圖, 都會發現這個事實. 只是說, 當你想要證明sin'=cos的時候, 以一般的導數定義下去證, 會看到 lim sin/x 這種東西, 你需要知道它等於誰才能往下做. 而一般的證法會用到面積概念 etc, 所以有些人可能會覺得這樣不好做下去, 那怎麼辦呢? 我所提出的做法就是, 好比說放棄sin的單位圓式定義, 改用ODE或冪級數來定義之 這樣訂出來的 Sin, Cos 原生就有 Sin'=Cos的性質 並且也有商數關係、倒數關係、正弦定理、餘弦定理, ...etc 一連串的性質 (每個都要證, 也都可以證) 當然在定義的過程中, 你會懷疑這樣訂出的Sin跟單位圓訂出的sin是一致的嗎? 假如你深信 sin 會有 sin'=cos 的性質, 但你暫且找不到分析手段證明他有 那你就設定他有. 同時在另一方面, 用ODE訂出的f,g 存在且唯一 因此若 sin'=cos, cos'=-sin, sin(0)=0, cos(0)=1, 你訂的 Sin 就是你原本的 sin, 你用這個嚴謹的定義去取代了原本 sin 的定義. 當然, 若你壓根都沒有在心理懷疑過 sin的微分是 cos 邏輯上, 你根本不需要去重新定義 sin. --- 最後快速點出我的三個結論: 1. 大一微積分扯到扇形面積公式 1/2 r^2 theta來證 sinx/x 的極限 真的有不嚴謹. 因為扇形面積是用積分來證的 而 sqrt(1-x^2) 的積分過程需要知道 sqrt(1-x^2)的反導函數是 arcsinx + C, 而這又是因為 arcsin 的導函數是 sqrt(1-x^2), 而為什麼 arcsin' x= sqrt(1-x^2), 這又是用到反函數定理, 且搭配 sin'=cos的事實 而 sin'=cos 又是用到 lim(x->0) sinx/x = 1, 因此循環論證, 有誤 2. 維持單位圓的 sin 定義 利用這個不等式: For all 0<|x|<1, |sinx-x| <= |x^3|/6 去夾擠證 sinx/x as x->0 是ok的, 問題是那個不等式要怎麼證, 我覺得正同 recorriendo 所猜測, 應該不難 3. 我個人不偏愛用 ODE 或用 power series來定義 sin, cos 我個人偏愛先定義 arcsin(定積分), 然後回頭定義 sin, 符合幾何直覺, 也嚴謹. 但一般高微書不會寫. (之所以前幾篇文章提用ODE訂法 是因為我剛好翻到用ODE訂法的書 剛才找到用arcsin訂法的書 XDDD) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.44.251.200 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424446526.A.EBE.html
推 gj942l41l4 : 如果對sin'=cos深信不疑 你的1也沒有不嚴謹了 02/20 23:57
→ gj942l41l4 : 另外 扇形面積的證明不一定那麼複雜吧 就只是全 02/20 23:58
→ gj942l41l4 : 圓的theta/2pi而已 02/20 23:58
那我問你, 圓面積為何是 pi*r^2?
→ gj942l41l4 : 這其實是不會碰到arcsin的 02/20 23:59
推 secjmy : 呃...我的符號是Sin為一般圓定義出的正弦函數XD 02/20 23:59
推 gj942l41l4 : 然後我原本提出的問題是「每個都要證，也都可以證」 02/21 00:02
→ gj942l41l4 : 這該怎麼證 大家都說證得出來 但鮮少有人真的去證 02/21 00:02
→ gj942l41l4 : 過 而這並不是trivial 只是我們剛好學過圓定義三 02/21 00:03
→ gj942l41l4 : 角函數 並且發現它們剛好都一樣而已 02/21 00:03
→ gj942l41l4 : 但若說那就從我們學過的圓定義三角函數出發去match 02/21 00:04
→ gj942l41l4 : 你的函數 第一個遇到就是Sinx/x極限問題 02/21 00:04
推 secjmy : 我比較有疑問的是，如何在證明Sin'=Cos之前，「證明 02/21 00:11
→ secjmy : 」Sin和Cos滿足那組ODE 02/21 00:11
→ secjmy : 這裡Sin和Cos是一般圓定義之下的三角函數 02/21 00:11
你還是沒看懂我意思~
→ gj942l41l4 : 包含在「每個都要證，也都可以證」裡面 02/21 00:12
→ gj942l41l4 : 你證出sin==Sin cos==Cos 以後 02/21 00:13
→ gj942l41l4 : 因為sin和cos符合 所以Sin和Cos符合 吧? 02/21 00:13
→ gj942l41l4 : 我的理解是這樣拉 所以我才會抓著這一點 02/21 00:13
→ yyc2008 : 圓面積應該用不到三角函數 02/21 00:38
推 gj942l41l4 : int 2*pi*r dr r=0toR 02/21 01:04
→ gj942l41l4 : 用圓周長一圈圈往外 02/21 01:04
我請問你 你這式子怎麼來的?
推 adu : 你是黃文璋嗎? 02/21 02:55
推 jacky7987 : 只要用2. 證明完 sinx/x-->1 就可以證明sinx'=cosx 02/21 08:55
→ jacky7987 : 然後就可以發現 sin,cos 滿足ODE 存在唯一就說一樣 02/21 08:56
推 jacky7987 : 用ODE的另一個有趣的點 你把system 寫回single eq. 02/21 08:58
→ jacky7987 : 然後用power series 解 就會發現Sin Cos的展開 02/21 08:58
→ jacky7987 : 有種一舉兩得的感受（笑 02/21 08:59
推 gj942l41l4 : 如果要用recorriendo 的方法證2的不等式 那就還要 02/21 10:03
→ gj942l41l4 : 配上yasfan大的連結 02/21 10:03
→ gj942l41l4 : 不然你對Sin做級數展開的過程還是要微分它 02/21 10:03
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/21/2015 11:21:26
推 gj942l41l4 : 圓周=2*pi*r是定義 02/21 12:11
→ gj942l41l4 : 應該說pi是這樣定出來的 02/21 12:11
→ gj942l41l4 : 然後你小圓環面積一圈圈往外積 有問題嗎? 02/21 12:12
→ gj942l41l4 : 還是會意不到我在講什麼，那去google圓面積 洋蔥法 02/21 12:14
你過程中用的積分手段是 method of cylindrical shells?
推 gj942l41l4 : 切同心環拉成長方形算面積和 我不確定你說的是不是 02/21 13:10
你是用這個公式來證嗎 http://ppt.cc/WLbv ? ※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/21/2015 13:15:25
推 gj942l41l4 : http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Circle_area_ri 02/21 13:48
→ gj942l41l4 : ngs.svg 這個圖吧 02/21 13:48
坦白說我看不懂工數style的積分理解方式 你可不可以用嚴謹的, 至少大一微積分課本有, 或者大二高微有的東西來解釋? 是單純的定積分？是disk method? 是shell method? 是變數變換過的 polar coordinate? 到底立論是哪個? ps: wikipedia 說那個證明用到了 (cylindrical)shell method 可是我問你是不是, 你又說不上來, 是 shell method?
推 sunev : 極座標的jacobian似乎會用到sin'=cos 02/21 14:16
→ alfadick : 對, sunev, 真的是這樣 02/21 14:29
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/21/2015 14:33:10
推 gj942l41l4 : 不如說說哪裡不嚴謹了？嚴謹的證明是符合邏輯 不是 02/21 14:35
→ gj942l41l4 : 知道方法的名字 02/21 14:35
→ gj942l41l4 : 面積相加、上下和取極限夾擠 不就是黎曼和的原則 02/21 14:36
→ gj942l41l4 : 黎曼積分定義也是這樣來的 02/21 14:37
→ gj942l41l4 : 如果你修了那麼多課 卻要講出方法名才是嚴謹 02/21 14:37
→ gj942l41l4 : 而不是從方法本身來看 你還是多複習思考一下吧 02/21 14:38
→ gj942l41l4 : 啊很抱歉就是我微積分高微工數都修過 剛好都沒記到 02/21 14:40
→ gj942l41l4 : 你提的名字 02/21 14:40
→ gj942l41l4 : 不過說這是工數style，我是無法認同你喔 02/21 14:41
推 gj942l41l4 : 就算是高微這樣證也是沒問題的 除非你提出邏輯缺陷 02/21 14:43
你冷靜一點, 你給的那個積分式子可不是照定義走, 可不是 所謂「面積相加、上下和取極限夾擠」從黎曼和開始切切割割、把mesh趨近於0極限出來的. 你是碰!的一下沒頭沒尾的, 直接給出一條所謂的積分式子： 「int 2*pi*r dr r=0toR」 天知道你怎麼來的? 所以我要求你給出個講法 不要講什麼「小圓環面積一圈圈往外積 有問題嗎?」 這到底是什麼方法啊？disk method? shell method? 變數變換? 極坐標? 還是是你自創的, 那就請你說明你怎麼用黎曼和、從劃partition開始, 一路推出 int 2pi*r dr的 ※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/21/2015 14:53:45
推 gj942l41l4 : 推文如何說清楚，我當然只能告訴你是圓環和 如果你 02/21 14:53
→ gj942l41l4 : 無法想像之後我有空畫個圖寫給你 02/21 14:53
有勞 因為我高度懷疑你那個過程會用到圓面積公式 等你.
推 j0958322080 : 那不然 int sqrt(r^2 - x^2) 如何?? 02/21 15:42
→ recorriendo : 一般用所謂積分技巧做√(r^2-x^2)積分 會用變數代換 02/21 17:51
→ recorriendo : 那樣會用到sin'=cos 不過不知道有沒有人試過用黎曼 02/21 17:52
→ recorriendo : 和做出來√(r^2-x^2)積分 02/21 17:54
推 Tiderus : 有看過用內接正多邊形、外切正多邊形來逼近圓面積。 02/21 18:08
你確定那是嚴格的follow著黎曼積分的定義來證的? 還是科普證法? ※ 編輯: alfadick (114.44.195.97), 02/24/2015 15:52:35