Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[ERT312 (312)]

※ 引述《secjmy (大雄)》之銘言：
: 我大概知道gj大要問的問題是什麼，因為我也有相同的問題要問XD
: 整理一下大家所說的東西
: 以下稱一般所定義的正弦函數為Sin，餘弦函數為Cos
: Goal: 想證lim_{x→0}Sin(x)/x=1 (姑且稱為Theorem 1好了)
: A. 一般的架構:
: A.1 從單位圓出發，定義Sin和Cos
: A.2 由A.1，再證明Theorem 1 (這裡當然不會有羅必達)
: A.3 由A.2，我們還可以推得Sin'=Cos, Cos'=-Sin
: B. a大所說的架構:
: 我們想「不用畫扇形的方法證明Theorem 1」
: 想法: 從Sin'=Cos，再加上羅必達，得到Theorem 1
: B.1 從一組ODE開始，即
:     f'=g,   g'=-f   }  (O)式
:     f(0)=0, g(0)=1  }
:     我們可以用一些分析的方法證明，微分方程組(O)存在唯一解，令為
:     f=sin, g=cos
: B.2 欲證Sin'=Cos, Cos'=-Sin，此時我們只要驗證Sin和Cos滿足(O)式
:     我們開始驗證
:     Sin(0)=0, OK!    Cos(0)=1, OK!
:     Sin'=Cos  欸等一下!!!這個要怎麼來???
:     於是卡在這邊，我們無法驗證Sin和Cos是否滿足(O)式
: 我想gj大應該就是要問這個問題吧
: 我和gj大有同樣的疑問，希望各位大大指點
: 大家別忘了我們的目標是證明lim_{x→0}Sin(x)/x=1
這樣問雖不能用alfadick的方法
(因為Sinx是單位圓式的定義)
但還是可以藉由ODE式的定義再使用羅必達
由
f'(t) = cost , g'(t) = -sint , sin0=0, cos0=1

           2       2
implies sin t + cos t = 1

因為 f'(0) = 1 > 0，因此存在一個包含0的區間 I

使得 (cost,sint) 在其上為 simple curve

    b   ______________________
又 ∫ √[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2  dt = b-a
    a

因此 (cost,sint) = (Cost,Sint) as t on I

因此 sint/t -> 1 implies Sint/t -> 1  (t -> 0)

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突然想到一個故事

在平行宇宙中，另外一個星球上的外星人
他們用ODE的方式定義 sin，他們的世界不存在單位圓式的定義
所以他們的題目 sinx/x 是直接使用羅必達

後來他們跟地球人接觸(地球人使用單位圓式定義)

他們看到地球人在夾 sinx/x 時說
你們要先證明等價才能做

地球人看到外星人用羅璧達也說
你們要先證明等價才能做

但雙方又都知道也能證明雙方的定義等價
而且他們在各自的系統內看自己證明 sinx/x -> 1 也都符合邏輯
但看對方的時候就起爭執了
因為他們忘不掉自己的定義
把兩個不同的系統搞在一起了

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推 gj942l41l4  : 「都知道也能證明」????  who knows???
→ gj942l41l4  : 如果有人能說出怎麼證  就不會爭執了
→ gj942l41l4  : 現在就是大家都嘴砲他會  但只有yasfun跳出來證
推 secjmy      : 推這篇，雖然上面的證明還沒有看懂XD
→ secjmy      : 現在應該就只差在說明兩種定義方式等價了
→ secjmy      : 但這項工作看起來好像有點麻煩XD
推 gj942l41l4  : 用這篇的方法應該是不用再證等價了啦