Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[yueayase (scrya)]

觀看這一連串討論文，提出一些感想:

(1) 若先用圓面積公式，推出sinx/x->1 as x->0，再用

      r  2 2                                           2
    2∫(r-x)dx 和 三角代換法(or反導函數有arcsin)求出πr  有循環論證問題
     -r

    這是對的，因為三角代換過程中一定會令x=rsinx => dx = rcosx dx

    用了sin'x=cosx ，但我們是用面積導出sinx/x->，再利用和角公式導出sin'x=cosx

    所以這樣做，等於繞了一圈回到原點


(2) 用ODE or power series去證明sinx/x，和角公式，正弦、餘弦定理，當然是沒有

    問題，也很嚴謹，只是不是很直觀，不太像是從高中升上來的人能接受做法，所以

    一般初微的書很少用這種方式做，但也造成了這種陷入循環論證的困擾

    http://ppt.cc/iq5C (第35題，應該是Steward Calculus，下面真的用三角代換法
    去證明扇形面積了...)

    **以上我誤會了，Steward Calculus用弧長去證明... 所以用三角代換證圓面積
    應該是沒有太大問題... 但是若用到sin'=cos證明圓周長就會有循環論證的
    問題**


(3) http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/page2.html

    應該就是用多邊形夾擠出來的做法了，因為我自己想不出來，所以也無從評論

      R
(4) ∫ 2πr dr 乍看之下的確是黎曼和切切割割得出來的(圓)面積
      0

    但我想問題在於這種分割法可能的問題是它和rectangle分割出的面積是否一樣?

    這種切法其實是取一小段弧長和徑向的一小個線段所形成的區域

    而當初在學黎曼合時應該是用rectangle這種四四方方的區域

    其實這shell method其實應該是從
     R 2π
    ∫∫ dθdr  來的
     0 0

    它是極座標下的積分，不是直角坐標系下的積分

    所以中間一定會有某種線性變換(就是Jacobian，其實中間的Jacobian有用到sin

    cos的微分)

    所以這就是為什麼這樣做會被質疑用到sin'=cos的原因
                                  2
(5)但我覺得若只是evaluate ∫√(1-x )dx = ? or 求arcsinx微分

   用三角代換應該不至於有循環論證問題，因為你還是可以從面積出發

   => sinx/x的極限 => sin'=cos => 利用三角代換求上面的積分 or 反函數定理

   求arcsinx微分

   但是若是用積分求面積，我覺得sorry，十之八九都脫離不了循環論證的問題


(6)若真要follow從面積出發的話，我覺得可能只能如(3)連結用幾何的方式和sequence

   的觀念去導圓面積公式了，不然就只有想辦法去找出面積公式和sinx/x(or sin'=cos)

   之間的等價關係了


奇怪了，原本只是問有沒有其他不用面積求sinx/x之極限，怎麼會變成爭論sin = Sin

cos=Cos， shell method是否直觀這種問題呢XD

今天我居然發這廢文真是不好意思 ~~



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※ 編輯: yueayase (61.227.228.40), 02/22/2015 05:02:20
※ 編輯: yueayase (61.227.228.40), 02/22/2015 05:02:49
推 gj942l41l4  : 4不用一樣啊  誰說一定要長方形
→ gj942l41l4  : sigma(環都內周長*dr)<環面積<sigma(環的外周長*dr)
→ gj942l41l4  : 取極限後  這上下和很容易被證明相等
→ gj942l41l4  : 然後它的形式會是斜率2pi的斜直線做黎曼積分的形式
→ gj942l41l4  : 這並不需要用到座標變換  只是幾何關係
→ gj942l41l4  : PS. pi定義為周長直徑比，沒有什麼取小段弧長的問題
→ gj942l41l4  : 你可以直接說出周長就是2*pi*r
→ alfadick    : 我還是不能看不懂且不能接受gj的說詞
→ alfadick    : 這種講得模模糊糊的東西不能拿來當證明
→ alfadick    : gj可能會說：啊照你的標準, 大一微積分的shell
→ alfadick    : method的公式推導不也是模模糊糊嗎?
→ alfadick    : 錯, shell method可以用嚴謹的黎曼和證明出來
→ alfadick    : gj你講的既不是shell method, 也不是變數變換
→ alfadick    : 你就要嚴謹的講清楚你是怎麼做的
→ alfadick    : ps: "第一句是我還是看不懂且不能接受gj的說詞"
推 alfadick    : 回本篇的(2), 我覺得我看過最嚴謹、最直觀的系統
→ alfadick    : 是從定義pi等於2∫0~1 1/sqrt(1-x^2)開始
→ alfadick    : 然後定義arcsinx=∫0~x  1/sqrt(1-t^2)dt
→ alfadick    : 然後用arcsin定義sin
推 secjmy      : 推這篇整理， 我已經放棄搞懂它了XD
→ alfadick    : 我覺得念數學就是要逼自己搞懂這個啦XDDD
→ alfadick    : 這才是硬底子的實力, 不然就變成背題型的解題匠了
→ alfadick    : 其實我覺得這些東西應該由高微課本寫給讀者看
→ alfadick    : 而不是我們自己在那邊想
→ alfadick    : 這超重要的
→ alfadick    : 所以為啥我討厭Rudin的高微就是這樣zzzzzzzz
推 secjmy      : 我只有ODE的定義還沒辦法接受等價， 其他找時間應
→ secjmy      : 該可以弄懂XD
→ yueayase    : 你那質疑等價是因為，要證明微方下的sin/cos
→ yueayase    : 和課本上的sin/cos要符合，必定要用某種"避開"面積
→ yueayase    : 的定義，來說明為何sin'=cos cos'=-sin
→ yueayase    : 可是這樣一來，其他定義下的東西，就應該可以直接
→ yueayase    : 用一些運算性質來證明sin'=cos, cos'=-sin
→ yueayase    : 那這樣用ODE就顯得沒什麼意思了...
※ 編輯: yueayase (61.227.226.193), 02/23/2015 15:39:50
※ 編輯: yueayase (61.227.226.193), 02/23/2015 16:15:28
→ alfadick    : 回應你紅色的新增說明, 我記得三角代換的
→ alfadick    : 背後本質就是變數變換, 而能成立的若干條件兮冫傽
→ alfadick    : 的若干條件之一, 就是會牽扯到sin的微分
→ alfadick    : 但我當初三角代換的地方偷懶跳過沒念XD