Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[alfadick (悟道修行者)]

目前為止我跟上篇y大的觀點差不多，

快速總結我目前為止的觀點。



1. 在證明 lim sinx/x 的時候無論扯到、勾搭上圓面積或者圓周長公式，

   都會導致循環論證。

   什麼意思？

   就是為什麼圓面積=pi*r^2，其證明過程(在一般的大一微積分架構下)

   一定會用到了三角函數sin'=cos的事實，

   而sin'=cos之所以能證，又是因為先知道 lim(x->0) sinx/x=1。



   如果 lim sinx/x 的證明過程扯到圓周長=2pi*r呢？(或弧長, 同一回事)

   我認為也會循環論證。問題有二：

   (i)曲線弧長的嚴謹定義還沒給出來, 怎麼知道怎麼算

      或者知道怎麼算, 過程又會用到積分, 積分的過程中的一環又會用到 sin'=cos



   (ii)假如放水一下, 睜一隻眼閉一隻眼, 允許偷渡弧長的定義, 這也有問題,

      因為為什麼全世界不管各式各樣的圓，它的圓周長和半徑的比值是定值，

      這件事情並沒有證過。什麼「圓都相似啊」的論述，我認為太粗糙，不能解釋。


   你可能會問，那圓周長和半徑的比值固定，我說用相似不嚴謹，難道有辦法嚴謹證嗎？

   有，就在剛剛，我找到了一本高微課本嚴謹的用分析的手段證明

   為什麼所有的圓的圓周長和其半徑的比值會固定這件事。

   http://ppt.cc/PM0b  (這本書的系統是先定義pi =2∫0~1 1/sqrt(1-x^2)dx

                        再定義arcsin, 再用反函數定義sin  )



2. gj聲稱圓面積證明法不需用到sin'=cos，

   但他所給出的證明我覺得非常不嚴謹，在此等待他的進一步說明。

   我是完全看不懂。至於他所援引的wikipedia，指出那個證明用到shell method

   (但gj沒正面指出他用了shell method, 他也說它沒變數變換或換成極坐標之類)，

   很遺憾，就我所知，shell method的嚴謹的證明，用到了圓的面積=pi*r^2這公式XD


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.44.251.200
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424574640.A.EA1.html
→ yyc2008     : 圓周長和半徑 弧度的關係是定義 不需要證明
→ yyc2008     : 圓周長=2pir是可以使用的
→ alfadick    : 為什麼不管大圓小圓, 圓周長和半徑的比值是定值
→ alfadick    : 要嚴謹的證這個就很麻煩.
→ yyc2008     : 因為大圓小圓都是相似形 就這樣
為什麼大圓小圓會相似?

你相似的定義是所有圖形的對應邊會成比例嗎? Is it?
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/22/2015 21:15:51
→ yyc2008     : 你回想國中學過的相似形 難道只有對應邊成比例就夠
→ yyc2008     : 了嗎? 其他非三角形的圖形就沒有全等概念? 既然有全
→ yyc2008     : 等概念 同樣就可以用在圓上
對應邊邊長都成比例才叫相似

可是圓周長不會算 又遑能談它成不成比例
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/22/2015 21:46:25
→ yyc2008     : 根本不必扯到周長
→ gj942l41l4  : 你接受JohnMash的說法的話  取半徑和無限小角度弧長
→ gj942l41l4  : 出來的三角形AA相似
→ alfadick    : 這哪算什麼證明= =
→ alfadick    : 覺得超奇怪, 完整證出來才算數
推 gj942l41l4  : AA相似  同樣小角度下圓周成比例  積一圈後就是圓周
→ gj942l41l4  : 成比例了啊
→ alfadick    : 似乎有點可行 積一圈的動作裡面不知道會不會用到什
→ alfadick    : 麼三角函數之類的