Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[JohnMash (Paul)]

※ 引述《sightseer ()》之銘言：
: 常見的證明lim sinx/x=1 as x approaches 0的方法如下(夾擠定理)
: http://tinyurl.com/kgkuehy
: 其中用到 扇形OKA的面積=1/2*R^2*x
: 但是這已經先假設我們已知如何定義並計算扇形面積了
: 所以如果"面積"概念尚未定義的情況下
: lim sinx/x=1如何證明?

微積分(不論是初等 高等 或是 超級高等)
都建立在一個公設上
圓的無窮小弧長 和 圓的無窮小弦長 是一樣的東西
因此有限大的弧長是 無窮小弦長的積分

捨此公設
我們連 sin θ < θ 都無法證明

不信的話 你再試試看

如果你接受這個公設

那麼你必定接受 我上篇貼文只用到此公設

就嚴格證明了這個問題



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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424585010.A.150.html
推 ERT312      : 用無窮小這種說法不太精確，極限出來之後已經不太用
→ ERT312      : 這字眼，非典型分析除外。現代的定義是用直線段去逼
→ ERT312      : 近，如果所有分割之下的線段長度有個上界，那它的
→ ERT312      : 最小上界就定義為弧長。
→ ERT312      : 這種精神跟阿基米得用的方法一樣
→ alfadick    : 推ERT312的說明, 我沒學過非標準分析, 但如果是
→ alfadick    : 是分析, 就要用分析的語言跟論述來說明跟證明
→ alfadick    : 我從來沒聽說過微積分是建立在這奇奇怪怪的公設上..