Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[alfadick (悟道修行者)]

※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: 微積分(不論是初等 高等 或是 超級高等)
: 都建立在一個公設上
: 圓的無窮小弧長 和 圓的無窮小弦長 是一樣的東西

有這種奇奇怪怪的公設= =?

我學到高微也沒聽過, 可能是拓樸之類的地方才有寫?


: 因此有限大的弧長是 無窮小弦長的積分

我的理解, 應該是說, rectifiable curve 的 arc length 定義為

把它切好幾段之後, 每一小段的小弦長的 summation 的 supremum.

而這個東西不太好算, 所以在某些條件下的曲線,

可以直接用那個定積分公式 ∫|r'(t)|dt來算

 (這個定理的推導要經過非常長的證明, 中間也一樣要用到均勻連續)

: 捨此公設
: 我們連 sin θ < θ 都無法證明

怎麼可能= =...

: 不信的話 你再試試看
: 如果你接受這個公設
: 那麼你必定接受 我上篇貼文只用到此公設
: 就嚴格證明了這個問題

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.44.251.200
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424585762.A.346.html
推 JohnMash    : 快點證
→ alfadick    : 感覺不是用簡單的epsilon-delta就可以證嗎= =
推 JohnMash    : 證出來或給參考文獻 其餘免談
→ alfadick    : 冪級數不行嗎?
→ alfadick    : 手上沒書 只有pdf...
→ yhl41z      : 為什麼圓的弧長等於arc length?
→ alfadick    : 你在回應我嗎?我的arc length就是指分析/微幾的那個
→ alfadick    : 沒有歧義
→ alfadick    : 圓周長就是圓這個curve的arc length
→ yhl41z      : 你不覺得弧長=arc length是公設嗎?
→ yhl41z      : 為什麼你可以用直線去逼近曲線?
什麼叫弧長=arc length

這不是同一個東西, 只是中英文翻譯不同嗎= =
→ yhl41z      : 難怪J大不回了XDDDDD
這不是我的問題, 這是你的問題
http://zh.wikipedia.org/wiki/弧長

自己點進去看吧, 我用的明明是正規的稱呼 =_=

如果是扇形的弧長 就會講"扇形的"



推 JohnMash    : 没有這個公設 弧和弦是無法比較的 當然得不到上界
推 JohnMash    : 目前證明 sin θ < θ 也在用公設 即 曲線長大於直
→ JohnMash    : 線長
我隱約覺得, 我們兩個在講的應該是同一件事

只是你的用字跟背後哲學和我的用字跟背後哲學不同而已.


你提到"無窮小的"及公設

但我排斥"無窮小"這種講法

好比「圓的無窮小弧長 和 圓的無窮小弦長 是一樣的東西」

我覺得這在分析裡是不知所云的話

我也排斥用公設(axiom)這種說詞來稱呼curve的arc length的"定義"

我認為公設是專有名詞, 不是用在這種地方




不過你前幾篇文中的那個證明, 我還是覺得過不去

我寫在ERT大的那篇推文裡

推 JohnMash    : 這也是在用公設 因為你無法從歐幾里得五公設推出
→ JohnMash    :  曲線長大於直線長

定義一個 curve 的 arc length 的過程中

是把曲線切好幾段, 然後把每段的線段長加總之後看它的 sup

如果它的 sup 有限，就稱此 curve 為 rectifiable curve.

換句話說, 如果算出來有限就有限, 那很好, 無限就算了

在這個地方, 不必在乎"兩點間的曲線長>=直線長"這件事情如果不對

arc length的這個定義還能不能work.  反正算出來有限就天下太平了, 管他的~
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/22/2015 15:30:13
→ yhl41z      : 就用你上面這定義好了 你有辦法證明單位圓(固定平面
→ yhl41z      : 上一個點, 所有與它距離為1的點)是rectifiable
→ yhl41z      : curve嗎?
→ yhl41z      : 你當然不能用到"曲線長大於直線長"這個"鬼扯"的公設
來, 證明在這裡

http://ppt.cc/y7Bx

http://ppt.cc/8AHJ


因為圓可以寫成 C1 的 curve, 所以得證.
→ yhl41z      : 你有用到lim sinx/x=1嗎?
不是啊 你現在的重點不是在跟我爭論說

微積分、高等微積分如果少掉那"公設" 一堆事都不能做

整個世界會大亂嗎? 我在證明給你看到目前為止你問我的東西,

根本不需要引進那個玩意兒當公設啊.


你現在又說我這個東西會不會用到 lim sinx/x

我就說我整個體系如果是從 ODE 訂/ 從冪級數訂

或者是從 pi 以定積分開始定義(我前幾篇有寫), 都是完整而且嚴謹的

因此在這幾種體系之下, 我當然可以放心的 sin'=cos

或者是動用到 lim(x->0) sinx/x = 1
※ 編輯: alfadick (114.44.251.200), 02/22/2015 16:18:21
→ yhl41z      : 那你是在回什麼文, 你用幂級數"定義"sin這件事就同
→ yhl41z      : 時"定義"(用你喜歡的用字)了圓的極小弧長=極小弦長
→ yhl41z      : 這件事, 所以你沒有少掉那公設 你是一開始就假設他
→ yhl41z      : 是對的, 喔不好意思, "定義"它是對的