Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[sippo ( )]

:    就是為什麼圓面積=pi*r^2，其證明過程(在一般的大一微積分架構下)
:    一定會用到了三角函數sin'=cos的事實，
:    而sin'=cos之所以能證，又是因為先知道 lim(x->0) sinx/x=1。
:    如果 lim sinx/x 的證明過程扯到圓周長=2pi*r呢？(或弧長, 同一回事)
:    我認為也會循環論證。問題有二：
:    (i)曲線弧長的嚴謹定義還沒給出來, 怎麼知道怎麼算
:       或者知道怎麼算, 過程又會用到積分, 積分的過程中的一環又會用到 sin'=cos
:    (ii)假如放水一下, 睜一隻眼閉一隻眼, 允許偷渡弧長的定義, 這也有問題,
:       因為為什麼全世界不管各式各樣的圓，它的圓周長和半徑的比值是定值，
:       這件事情並沒有證過。什麼「圓都相似啊」的論述，我認為太粗糙，不能解釋。

我不太同意 "圓面積一定要用微積分才能嚴謹定義" 這個陳述。

我覺得面積可以定義成 "一個區塊跟單位正方形的比值"
實分析一開始就討論到怎樣的區塊是可測，怎樣是不可測的
(測度論並沒有用三角函數，所以沒有循環論證的問題)

1. 首先證明 "圓是可測的區塊"，這用多邊形取極限可以確定。

2. 接著證明 "圓面積正比於r平方"，這能否不用三角函數就嚴謹的說明呢?

我相信也是可以的。先把任意圓C 跟單位圓c 都做出外切正方形，稱為 S 和 s
接著做這兩個圓的內切正n邊形，稱作Pn 跟 pn

目標是證 c/C = s/S，
而 s/S = pn/Pn 可以從古典幾何中證明，
pn/Pn -> c/C 是取極限的過程，實分析中可以嚴謹證明，我推測邏輯上是成立的
(如果大家有興趣我可以仔細寫一下 XD)

3. 接下來，我認為證明 sin(x)/x 的極限，並不需要知道 pi 的精確值
   只要能滿足面積夾擊的不等式就可以了。
   所以一旦證完 2. 之後就可以證了。

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老實說，我覺得弧長比面積還難定義。
面積的根據是 outer measure ，對 countable 矩形做交集聯集，都有固定做法。

弧長...可能真的要用到一些三角函數的性質 (抖)

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※ 編輯: sippo (98.109.34.157), 02/22/2015 15:09:30
※ 編輯: sippo (98.109.34.157), 02/22/2015 15:10:18
推 alfadick    : 沒學過實分析 (逃
推 secjmy      : 原本的極限討論串，居然來到實變了XDD
→ alfadick    : 這裡的"圓面積正比於r平方"是適用於各種圓嗎
→ yueayase    : 這就有點像是以前學割圓術證明圓面積的嚴謹版本XD
→ yyc2008     : 大圓小圓互為相似形 且圓的特徵量就只有半徑而已
→ yyc2008     : 不跟半徑平方成正比 請問還有什麼可能?
推 yyc2008     : sippo大別誤會 我是回推文 如果可以的話 希望sippo
→ yyc2008     : 按照文中說的 補一下過程 我有興趣
推 alfadick    : 為什麼會相似? 怎麼證會相似?
→ alfadick    : 三角形之類的東西相似還好定義&理解
→ alfadick    : 什麼叫圓會相似?