Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[JohnMash (Paul)]

※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: : 本解法只用弧線長大於直線長及其類推
: : 來證明
: : http://imgur.com/ILy7jk1
: 鑑於上篇貼文對於若干不够嚴謹處 做了改寫
: 這樣就完成了 只用弧長不等式證明本題
: http://imgur.com/yeCnJf1

我們已知圓內接正2^n邊形的周長 在n趨於無窮大 其值趨於圓周長
因此可得
sinθ < θ <= sinθ + (1- cosθ)
 因此
lim sin θ / θ = 1
我們的嚴格證明中
不用 ODE 不用 冪級數 不用面積分 不用Jacobian
請看附圖
http://imgur.com/5BSyMBv

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推 yyc2008     : 讚!
推 alfadick    : 所以前一次我提出所謂過不去的地方(ds還是曲線的
→ alfadick    : 那個證明)是真的過不去, 還是我哪裡誤會你的意思?
→ alfadick    : 你這證明沒用到圓面積公式,但用了扇形弧長公式S=rθ
→ alfadick    : 等同於用到圓周長公式，以及曲線弧長的定義
→ alfadick    : 還用到了「圓內接正2^n邊形的周長 在n趨於無窮大
→ alfadick    : 其值趨於圓周長」這件事
→ yueayase    : Question: sin(theta/2)/(theta/2)=1?
→ yueayase    : 之前在夾時有用到
→ yueayase    : 另外，我會有點好奇alfadick你會不會對Apostol的
→ yueayase    : Mathematical Analysis證明Bolzano-Weierstrass
→ yueayase    : Theorem感到難以接受啊?
→ yueayase    : 我會提到是因為Apostol在證明Bolzano-Weierstrass
→ yueayase    : 也是在分割正方形喔
→ yyc2008     : 那是不等式 JohnMash大沒說相等 而且sinx/x < 1已證
推 yueayase    : ok，那我沒想到
→ alfadick    : 回yueayase,手上沒書,但分割正方形好像沒什麼問題?
推 yueayase    : 其實JohnMash這方法，和Steward的Apendix F應該是一
→ yueayase    : 樣的東西