推 alfadick : 讚!! 02/23 08:18
這篇主要解釋一下為什麼 (良好的) 相似形面積會跟 "長度平方" 成正比
這並不是 trivial 的問題，
因為一些碎形集合的面積可能不會跟長度平方成正比
以下我考慮單位區域 m
m 是被 x軸，y軸，還有f(x) 圍成的區域
f(x) 滿足以下條件: f(x)連續，在 [0,1]單調遞減，f(0)=1, f(1)=0
http://imgur.com/VGvhF6y
我們另外定義 m的相似形 M:
M 的定義跟 m 類似，只是被 x, y, g(x) 圍成的區域
其中 g(x) = a*f(x/a), a 稱為 M 和 m 之間的線性比例
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圓形是上面定義的特例之一。
因為 f(x) 是連續且單調遞減的 (連結的左圖)，所以我們有很多良好性質可以用
(如果不是，例如連結的右圖，那麼面積可能會沒有定義)
m 可以用邊長為 1/(2^k) 的正方形聯集來近似，
藍色的區域稱做 m 的下和 L_k
藍+黃的區域稱做 m 的上和 U_k
因為f連續所以上下和都有良好定義。
下和 L_k 是個單調遞增又有上界 (至少比單位矩形小) 的數列，所以收斂到定值A
上下和的誤差要收斂，面積才有定義。
因為 f(x) 是單調遞減，頂多和 (2*k) 個小正方形相交
所以上下和的誤差小於 (2k)/(2^k)，當k趨近無窮大時，上下和收斂到同個值A
所以區域 m 是可測度的。
(連結的右圖，如果f(x)有一些無窮震盪，那麼上下和可能不收歛)
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同樣的作法可以應用到 M 上面，只是我們改用邊長為 a/(2^k) 的正方形來定義上下和
m 能塞入多少邊長是 1/(2^k) 的矩形，
M 就能塞入多少邊長是 a/(2^k) 的矩形。
所以 m 跟 M 的面積是跟 a^2 成正比。
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