→ alfadick : 為什麼不管大圓小圓, 圓周長和半徑的比值是定值 02/22 15:24
→ alfadick : 要嚴謹的證這個就很麻煩.02/22 15:25
如果你能夠接受JohnMash講的，這個輕而易舉吧
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※ 編輯: gj942l41l4 (61.228.169.75), 02/23/2015 17:24:43
→ yueayase : sk*delta r和直角坐標的xy的區塊不一樣，他會質疑這 02/23 17:29
→ yueayase : 這兩者之間會需要做線性變換，就是那個Jacobian 02/23 17:30
我連座標化都沒有，只用 環面積<外周長*dr長方形面積 的幾何關係
還是這也要證？
→ yueayase : 其實也可從弧長和作圖導出sinx/x->1 when x->0 02/23 17:31
※ 編輯: gj942l41l4 (61.228.169.75), 02/23/2015 17:33:59
→ yueayase : 這樣導出的sin'=cos，應該就可以用三角代換 02/23 17:32
→ yueayase : 和sqrt(1-x^2)的積分，求圓面積 02/23 17:32
→ yueayase : 但犧牲的是就不能導圓周長 02/23 17:33
→ yueayase : 而power series導出的sin'=cos，雖然可導圓面積 02/23 17:33
→ yueayase : 但那power series就變成不能去證明sinx的Taylor級數 02/23 17:34
→ yueayase : 等於x-x^3/3!+... 02/23 17:34
→ yueayase : 外周長*dr應該不是長方形吧... 02/23 17:35
我的意思是一個 長=外周長 寬=dr 的長方形
→ yueayase : 所以應該還是要做某種座標變換 02/23 17:36
如果能夠接受JohnMash的說法，把環細切直接幾何關係比較就出來了
推 yueayase : 長=外周長 寬=dr 的長方形 極限上是這樣沒錯 02/23 17:56
→ yueayase : 當然你是可以用作圖和夾擊來證出那事實 02/23 17:56
→ yueayase : 所以真要我說，你那也沒什麼錯，只要你的立基點是合 02/23 17:57
→ yueayase : 理的 02/23 17:57
→ yueayase : 就如我上面所說，每種approach，必會有某個點是根本 02/23 17:58
→ yueayase : 不能證的東西 02/23 17:58
→ yueayase : 舉個例:well-ordering principle能不能證呢? 02/23 17:59
→ yueayase : Ans:若你把induction principle當Axiom就可以證 02/23 18:00
→ yueayase : 但其實兩者根本是等價敘述，所以你說之前吵那麼多 02/23 18:00
→ yueayase : 原因是什麼?? 02/23 18:00
→ alfadick : 我看不懂為什麼要圓周長*半徑, 且為何An的面積 02/23 20:43
→ alfadick : 被s_n-1*delta r及 s_n*delta r這兩個東西包住 02/23 20:44
→ alfadick : 感覺你試圖清楚的解釋後面的東西, 前面的地方也麻煩 02/23 20:45
→ alfadick : 你幫我補寫清楚一下,我以前沒研究過圓周長*半徑之 02/23 20:45
→ alfadick : 類的東西 02/23 20:45
→ alfadick : 沒有要挑錯, 真的一時之間看不懂 02/23 20:46
可以想成 上底*高<梯形面積<下底*高 吧
當然環不能拉成梯形所以這只是一種想法，要證明要作圖夾擠
推 yueayase : 把每個圓環想成像長方形的東西吧 02/23 22:13
→ yueayase : 然後大圓和小圓的周長當成那長方形的長(or寬) 02/23 22:13
※ 編輯: gj942l41l4 (61.228.169.75), 02/23/2015 23:06:58
推 yueayase : 呵呵，我說的超不精準的 02/24 00:12
→ lampmouse : 這件事不trivial 難度與shell method一樣 02/24 00:27
→ lampmouse : 如果想看例子 可以去找Pappus's Centroid Theorem 02/24 00:29
→ yueayase : 其實我當初也不覺得這樣很嚴謹，到了重積分的地方 02/24 01:30
→ yueayase : 才意會到需要做些座標變換 02/24 01:30
→ yueayase : 所以也用了不正確的計法XD 02/24 01:32
推 alfadick : 你那pdf一開始沒多久V2-V1就用到了pi*r^2.. 02/24 01:35
→ alfadick : 不過那證明真的是不嚴謹, 我google到很多人的pdf 02/24 01:35
→ alfadick : 就專門用嚴謹的方式來證那些東西 02/24 01:36
→ alfadick : 順帶一提,一般微積分課本證明弧長的公式,用到 02/24 01:36
→ alfadick : ds^2=dx^2+dy^2的, 也是非常非常不嚴謹, 簡直是神話 02/24 01:36
→ alfadick : 工科的會被唬到就算了, 數學系還很把他當一回事信仰 02/24 01:37
→ alfadick : 真是枉稱數學系 02/24 01:37
→ yyc2008 : 可以dr/dt = v 不能接受dr = vdt也蠻奇怪的 02/24 03:48
→ lampmouse : 事實上式子本身沒有不嚴謹 只是微積分還沒有教到正 02/24 06:48
→ lampmouse : 確的解釋方法而已.... 02/24 06:48
→ gj942l41l4 : 有沒有想過 一個被你說不夠嚴謹的式子做出來可以全 02/24 07:36
→ gj942l41l4 : 對 當初猜到這條而且讓大家都信仰的人要多厲害 02/24 07:36
→ alfadick : 問題就是真的不嚴謹啊= = 02/24 07:50
→ alfadick : 證那個還需要用到均勻連續之類的才過得去 02/24 07:50
→ alfadick : 大一微積分沒辦法講嚴謹的方式, 因為那需要一堆分析 02/24 07:51
→ alfadick : 的知識及工具, 所以只能粗糙的示意寫一寫 02/24 07:51
→ alfadick : 你們真的看過關於那個的嚴謹的證明嗎= = 02/24 07:52
→ alfadick : 還有gj所說的我也覺得莫名其妙, 他公式與結論是對的 02/24 07:53
→ alfadick : 但證明方法與邏輯推論過程是錯的(我說大一微積分ds 02/24 07:54
→ alfadick : ^2=dx^2+dy^2 => ..那套證法),這種是在微積分發展過 02/24 07:54
→ alfadick : 程中屢見不鮮,在物理發展中也是這樣,嚴謹的都是事後 02/24 07:55
→ alfadick : 再由後人補上的, 這情況不是很常見嗎 02/24 07:55
→ alfadick : 我沒說不厲害啊, 只是有些大一微積分書上寫的三行 02/24 07:56
→ alfadick : 就證出弧長公式的證明就是錯的, 就跟你講是這樣 02/24 07:56
→ yueayase : 請post有你認為嚴格證明的來源or書籍 02/24 14:38
→ yueayase : 但我不清楚有什麼樣的關鍵字能找到 02/24 14:39
→ yueayase : 你說的嚴格證明，高微的書好像也沒看到... 02/24 14:40
→ alfadick : 好幾本微幾的書都有(doCarmo沒有的樣子) 02/24 15:30
→ alfadick : 或者掛名向量分析的書 02/24 15:31
→ alfadick : 世界上有很多書有寫這些證明,只是你們可能只找所謂 02/24 15:34
→ alfadick : 聖經本的書來讀, 所以沒看到. 02/24 15:34
→ alfadick : 不然如果yueayase認為沒有不嚴謹的地方的話 02/24 15:53
→ alfadick : 不如你像在寫教科書一樣, 把那證明寫一遍出來如何 02/24 15:54
→ alfadick : 大家好討論看看有沒有錯 02/24 15:54
推 yueayase : 如果要挑不能用pi*r^2or2pi*r的證明，我就輸了XD 02/24 17:17
→ yueayase : 因為你也說sin'=cos不能用，那也沒什麼好說了 02/24 17:18
→ yueayase : 不過我還是希望你舉幾個書，我來看看要怎樣證明比較 02/24 17:18
→ yueayase : 嚴謹 02/24 17:19
→ yueayase : 還有我不是數學系的學生，所以也許我程度太差，無法 02/24 17:32
→ yueayase : 理解你說的point，不過我有興趣，所以希望你提出幾 02/24 17:32
→ yueayase : 本書來，也別再說輕視數學系的話了... 02/24 17:32
→ yueayase : 然後之後就會乖乖閉嘴了 02/24 17:33
→ alfadick : 我沒有輕視數學系啊= = 02/24 18:32
→ alfadick : 我推文提到的那些的嚴謹證明, 都是有書有寫出來的 02/24 18:33
→ alfadick : 不是我自己想出來的. 02/24 18:33
→ alfadick : 那些嚴謹證明就是我所肯定的 02/24 18:33
→ alfadick : 我所否定的是大一微積分所給出的證明, 我說它們不嚴 02/24 18:34
→ alfadick : 謹, 結果還會被少數數學系的拳拳服膺 02/24 18:34
→ alfadick : 你可能沒看懂我中文的意思, 以為我在婊數學系 02/24 18:34
→ alfadick : 或者婊當代的數學發展. 02/24 18:35
→ alfadick : 事實上我婊的是那些讀書讀到抓不到錯誤的書呆子 02/24 18:35
→ alfadick : 而證據就是國外的不少原文書的作者也點出大一微積分 02/24 18:35
→ alfadick : 多數原文書證明的不嚴謹之處,然後用分析手段痛痛快 02/24 18:36
→ alfadick : 快的證出來. 02/24 18:36
→ alfadick : 因為只有我說那些微積分書爛 你們可能先入為主覺得 02/24 18:36
→ alfadick : 我唬爛.我只好搬出別本書、也同樣是外國人的書來 02/24 18:37
→ alfadick : 引證我的立場了. 02/24 18:37
→ yyc2008 : alfadick就舉幾本有寫出嚴格證明的書名供大家參考 02/24 22:18
→ yyc2008 : 不就是最好的證明嗎?舉個書名而已 不會麻煩你幾分鐘 02/24 22:19
→ yyc2008 : 吧 與其說很多聖經本的不足之處 還不如實際舉出好的 02/24 22:21
→ yyc2008 : 書名 不是更有說服力? 02/24 22:21
推 alfadick : 呵呵 我比較那悶的是居然這麼多念數學的人沒發現有 02/24 22:36
→ alfadick : 問題(大一給的那個不嚴謹), 真的蠻諷刺的 02/24 22:36
→ alfadick : 給你reference沒問題, Vector analysis 02/24 22:37
→ alfadick : versus vector analysis p.24 02/24 22:37
→ alfadick : 我真的覺得發現大一微積分課本那套證明不嚴謹 02/24 22:40
→ alfadick : 是很trivial的能力...為啥講出這個好像讓一堆版友 02/24 22:41
→ alfadick : 不開心? 大家太大而化之的做學問了 02/24 22:42
→ yyc2008 : vector analysis versus vector analysis?書名應該 02/24 23:31
→ yyc2008 : 有誤 可以的話 連同作者也一起附上會比較好找 因為 02/24 23:32
→ yyc2008 : vector analysis用這個書名的應該一堆 02/24 23:33
→ yyc2008 : 我想大部分的人覺得沒有很嚴謹 就是用物理dr=vdt的 02/24 23:56
→ yyc2008 : 直觀想法去看 反正最後分割線段越取越小 就沒問題了 02/24 23:57
→ yyc2008 : dr=vdt v就是小線段中平均值定理所取的值 但是這個 02/24 23:59
→ yyc2008 : 值所在的點不見得是小線端兩端的點 每個小線段要怎 02/25 00:00
→ yyc2008 : 麼取 很多人就打爛仗 反正越取越小 就不管了 02/25 00:01
→ yyc2008 : 不過話說回來 alfadick有沒有知道哪些書有例子 在哪 02/25 00:15
→ yyc2008 : 些情況下這種把dx dy又乘又除的做法行不通的實際例 02/25 00:16
→ yyc2008 : 子? 我想例子一出來 應該會讓大家大吃一驚的 我也很 02/25 00:16
→ yyc2008 : 有興趣 很想看看這種奇怪的例子 02/25 00:17
→ alfadick : 一樣是p.24 (最下面) 02/25 00:27
→ alfadick : 可google到他的pdf 02/25 00:29
推 yueayase : 那如何用Theorem 2.1.3，證明圓周長=2pi? 02/25 00:59
→ yueayase : 還是我誤會了? 02/25 01:00
→ yyc2008 : 謝謝 我看一下 02/25 02:16
→ alfadick : 我那本書的Theorem 2.1.3嗎? 02/25 09:43
→ alfadick : 我的另本書的系統(也是我所推崇的), 是先定義 02/25 09:44
→ alfadick : pi=兩倍 * 積分0到1的1/sqrt(1-x^2) 02/25 09:45
→ alfadick : pi定義完之後, 定義arcsin, 定義完後, 再定義sin 02/25 09:45
→ alfadick : 反正很嚴謹,不會有循環論證就是了 02/25 09:45
→ alfadick : 所以我質疑的不是整個數學系的架構跟理論 02/25 09:46
→ alfadick : 而是質疑有一派的定義-定理的系統會產生循環論證 02/25 09:47
→ alfadick : *前兩句多打字, "我質疑的不是整個數學的架構.." 02/25 09:47
→ alfadick : 當然那一派的說不定不會產生循環論證,但到目前看到 02/25 09:48
→ alfadick : 別的版友給出來的證明都會有, 也就是無論是圓周長 02/25 09:49
→ alfadick : 還是圓面積來證limsinx/x,都會在過程中不得不、不小 02/25 09:49
→ alfadick : 心用到sin'=cos這東西，而這東西在大一微積分那套 02/25 09:49
→ alfadick : 系統之下,就是由lim sinx/x所導出來的,所以導致循 02/25 09:50
→ alfadick : 環論證 02/25 09:50
→ alfadick : 不過一件事歸一件事, yueayase, 關於曲線弧長公式 02/25 09:50
→ alfadick : 的證明, 我提出的那個reference你怎麼看? 02/25 09:51
→ gj942l41l4 : ？ 你上一篇不是覺得我的圓相似證明應該可行了嗎 02/25 09:58
→ gj942l41l4 : 如此直接用圓周長=2*pi*r出來的也沒問題吧 02/25 09:59
→ gj942l41l4 : 至於這篇的面積 一樣可以取小角度切梯形再積分 02/25 10:01
→ gj942l41l4 : 至於曲線弧長你如果不接受JohnMash的說法 我有空看 02/25 10:02
→ gj942l41l4 : 你的reference再來想怎麼證 02/25 10:02
→ alfadick : 我覺得你那個在寫出detail的時候怕有些地方會過不去 02/25 12:53
→ alfadick : 我覺得有這機會, 所以可能要真的把證明完整寫出來 02/25 12:54
→ alfadick : 看看 02/25 12:54
→ yyc2008 : alfadick可以把另一本書的書名也告訴我們嗎? 02/25 14:38
→ yueayase : alfadick你那個自然比初微的sigma變出Theorem 2.1.3 02/25 15:08
→ yueayase : 的做法來的完整 02/25 15:08
→ yueayase : 但有個問題是初微的人需不需要知道這些東西，才能 02/25 15:09
→ yueayase : 把(初微要求的)問題解決 02/25 15:09
→ yueayase : 而且有個問題是(不是我能觸及的)，面積若不用積分 02/25 15:10
→ yueayase : 就能定義(or證明的情況下)，你用面積證明sinx/x 02/25 15:11
→ yueayase : 的極限，然後導出sinx'=cosx，再用theorem2.1.3的式 02/25 15:12
→ yueayase : 子，導出弧長公式，這樣會有循環論證?? 02/25 15:13
→ yueayase : 課本那是不怎樣，但你不能要求所有人都要馬上能去 02/25 15:15
→ yueayase : 用那麼嚴謹的角度去看事情(像我，我又不是數學系的) 02/25 15:16
→ yueayase : 我會對這些有興趣的，但我可以不注重這些(當然我還 02/25 15:16
→ yueayase : 是會追)，至於弧長能不能先用別的方式嚴謹定義出來 02/25 15:17
→ yueayase : (不用積分)，這我就不清楚囉... 02/25 15:17
→ yueayase : summary:你認知好得系統，優於別的系統之處? 02/25 15:18
→ yueayase : 那麼多可以殊途同歸的做法，如何比較優劣? 02/25 15:19
→ yueayase : 這才是我比較狐疑的地方，不然你的ODE sin為甚麼人 02/25 15:19
→ yueayase : 家要接受，pi=S(1-x^2)還比較能接受... 02/25 15:20
→ yueayase : 不過後面是我誤解了XD 02/25 15:22
→ yueayase : 然後，我發現到標題是"不用面積證sinx/x"，那我把 02/25 15:24
→ yueayase : 問題搞錯了XD 02/25 15:25
→ yueayase : 所以圓面積不該先定義 02/25 15:25
→ yueayase : 系統太多了，要搞清楚重點才是... 02/25 15:26
→ yueayase : 不過圓周長我會懷疑是否非用sin'=cos才能做出來 02/25 15:30
→ yueayase : 不過問題在於pi這常數就是了 02/25 15:39
→ gj942l41l4 : 現在已經脫離標題很久了其實 樓上連結good 02/25 18:01
→ gj942l41l4 : pi沒有問題吧 就只是一個人定的值 連結也有解釋 02/25 18:03
→ gj942l41l4 : 唯的能抓的問題大概剩：為何圓內接/外切正n邊形存在 02/25 18:06
→ yueayase : 他就是沒有定義拓樸，沒有說明你的函數選"多好" 02/25 18:27
→ yueayase : 他就覺得不是證明，可問題是這些東西及是非證明補可 02/25 18:27
→ yueayase : 所在的系統不一樣，誰是定義，誰是導出來的，標準 02/25 18:28
→ yueayase : 根本就不一樣 02/25 18:28
→ alfadick : 標準不一樣無所謂, 但一套系統規範好哪些是定義 02/25 19:47
→ alfadick : 哪些不算之後, 在證明任何定理的時候都不行發生循環 02/25 19:48
→ alfadick : 論證. 發生循環論證就不是見仁見智的問題~ 02/25 19:48
→ alfadick : 而是錯誤 02/25 19:48