作者alfadick (悟道修行者)
看板Math
標題Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義
時間Wed Feb 25 19:36:00 2015
我覺得這討論串從頭到尾各版友跟我都沒有亂戰的意思
都是甲提出一個什麼、乙發出一篇反駁、丙又修正什麼、丁又提出一篇反駁
其實比較像學術討論。
而且討論到現在，已經很多東西越討論越清楚，沒有在兜圈子。挺有建設性的。
再回一篇, 順便提出新的 idea：
※ 引述《gj942l41l4 (魯魯)》之銘言：
: → gj942l41l4 : ？ 你上一篇不是覺得我的圓相似證明應該可行了嗎 02/25 09:58
: → gj942l41l4 : 如此直接用圓周長=2*pi*r出來的也沒問題吧 02/25 09:59
: → gj942l41l4 : 至於這篇的面積 一樣可以取小角度切梯形再積分 02/25 10:01
: → gj942l41l4 : 至於曲線弧長你如果不接受JohnMash的說法 我有空看 02/25 10:02
: → gj942l41l4 : 你的reference再來想怎麼證 02/25 10:02
: → alfadick : 我覺得你那個在寫出detail的時候怕有些地方會過不去 02/25 12:53
: → alfadick : 我覺得有這機會, 所以可能要真的把證明完整寫出來 02/25 12:54
: → alfadick : 看看 02/25 12:54
: → yyc2008 : alfadick可以把另一本書的書名也告訴我們嗎? 02/25 14:38
: → yueayase : alfadick你那個自然比初微的sigma變出Theorem 2.1.3 02/25 15:08
: → yueayase : 的做法來的完整 02/25 15:08
: → yueayase : 但有個問題是初微的人需不需要知道這些東西，才能 02/25 15:09
: → yueayase : 把(初微要求的)問題解決 02/25 15:09
有些好的初微書會特別註記一行, 說他等下要給的證明只是個直觀證明, 不嚴謹
這樣至少讀者心裡有個準備, 知道粗糙的看過去, 抓個 intuitive idea 就好了.
有些初微書作者可能也不是數學系出身的吧, 就把證明很不嚴謹的寫出來,
就是 ds^2=dx^2+dy^2, 然後有的沒的把 dt 除來除去的那種證明,
然後什麼話都不說, 也沒說這證明不嚴謹(可能連作者自己都不知道這不嚴謹)
然後不少讀者還煞有其事, 信以為真.
如果非數學系就算了, 數學系還這樣奉為圭臬, 也就太粗枝大葉了.
你們可能會說, 如果在大一微積分引進那麼嚴謹的東西,
還扯到均值定理、均勻連續, 誰受得了? 對啊,
我當然也沒要鼓吹在大一講得跟高微一樣那麼複雜, 只是至少至少至少,
不要拿出奇怪的dx,dy,dt,ds...五鬼搬運大法來證.
至少至少至少, 可以用黎曼和盡可能嚴謹的證,
有些好的初微書的確就是如此, 然後證的過程中偶爾一兩步要高微知識才跨得過去的地方,
作者就會強調這裡就先這樣粗糙帶過, 相關緣由到 advanced course 再解釋
我覺得這就很ok.
: → yueayase : 而且有個問題是(不是我能觸及的)，面積若不用積分 02/25 15:10
: → yueayase : 就能定義(or證明的情況下)，你用面積證明sinx/x 02/25 15:11
: → yueayase : 的極限，然後導出sinx'=cosx，再用theorem2.1.3的式 02/25 15:12
: → yueayase : 子，導出弧長公式，這樣會有循環論證?? 02/25 15:13
: → yueayase : 課本那是不怎樣，但你不能要求所有人都要馬上能去 02/25 15:15
: → yueayase : 用那麼嚴謹的角度去看事情(像我，我又不是數學系的) 02/25 15:16
: → yueayase : 我會對這些有興趣的，但我可以不注重這些(當然我還 02/25 15:16
: → yueayase : 是會追)，至於弧長能不能先用別的方式嚴謹定義出來 02/25 15:17
: → yueayase : (不用積分)，這我就不清楚囉... 02/25 15:17
: → yueayase : summary:你認知好得系統，優於別的系統之處? 02/25 15:18
: → yueayase : 那麼多可以殊途同歸的做法，如何比較優劣? 02/25 15:19
: → yueayase : 這才是我比較狐疑的地方，不然你的ODE sin為甚麼人 02/25 15:19
: → yueayase : 家要接受，pi=S(1-x^2)還比較能接受... 02/25 15:20
: → yueayase : 不過後面是我誤解了XD 02/25 15:22
: → yueayase : 然後，我發現到標題是"不用面積證sinx/x"，那我把 02/25 15:24
: → yueayase : 問題搞錯了XD 02/25 15:25
: → yueayase : 所以圓面積不該先定義 02/25 15:25
: → yueayase : 系統太多了，要搞清楚重點才是... 02/25 15:26
: → yueayase : 不過圓周長我會懷疑是否非用sin'=cos才能做出來 02/25 15:30
: → yueayase : eg:http://ppt.cc/IBBn 02/25 15:38
你看哦, 他裡面做一做,
有一步說：
「...可知下面兩極限存在且相等
\begin{displaymath}
\lim_{n\rightarrow\infty}U_n=\lim_{n\rightarrow\infty}L_n
\end{displaymath}
這個共同的極限值，我們就定義它為圓周長。」
這種弄法太科普了, 以高微、微幾來看,
圓周長的定義就是「圓」這個「curve」的「arc length」。
換句話說，就是照著arc length的標準定義試著把圓這個curve的arc length
導出來, 這東西才是圓周長.
不能說像他這樣, 當有些地方"過不太去的時候", 就把它連哄帶騙,
就說啊那這規範為定義好了. 這樣是不行的.
為什麼不行啊? 因為曲線的arc length的定義已經存在了, 已經有了, 屹立不搖就在那裡,
萬一你(這個作者)在這邊「自己」「定義」的圓周長, 和用
curve的arc length定義算出來的圓這個curve的arc length(圓周長)不一樣怎麼辦？
豈不是天下大亂？不可以這樣.
所以我還是把這證明打回票, 應該只能歸類為科普等級, 當故事看過就好,
不能當做嚴格的證明.
我至今還是隱約的懷疑, 圓周長的證明會用到三角函數及其微分,
換言之以大一微積分的系統來看, 應該是有點問題的.
除非用後來其他版友指出的好比 Spivak 的系統,
才有辦法完整、而不循環論證的建立一連串整個的體系.
: → yueayase : 不過問題在於pi這常數就是了 02/25 15:39
: → gj942l41l4 : 現在已經脫離標題很久了其實 樓上連結good 02/25 18:01
: → gj942l41l4 : pi沒有問題吧 就只是一個人定的值 連結也有解釋 02/25 18:03
: → gj942l41l4 : 唯的能抓的問題大概剩：為何圓內接/外切正n邊形存在 02/25 18:06
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※ 編輯: alfadick (114.44.195.97), 02/25/2015 19:36:33
※ 編輯: alfadick (114.44.195.97), 02/25/2015 19:40:20
推 yueayase : 隨便你，在下也吸收了不少東西 02/25 19:49
→ yueayase : Spivak系統應該是比較接近高中程度能接受的做法 02/25 19:53
推 gj942l41l4 : 他都跟你說區間套定理了 哪裡過不太去 02/25 19:54
你看仔細一點.. 誰否認那個極限會存在了....
由實數系的完備性（區間套原理，the nested intervals principle）可知下面兩極限存
在且相等
\begin{displaymath}
\lim_{n\rightarrow\infty}U_n=\lim_{n\rightarrow\infty}L_n
\end{displaymath}
這個共同的極限值，我們就定義它為圓周長。
我是說這個極限值憑什麼可以定義成圓周長
※ 編輯: alfadick (114.44.195.97), 02/25/2015 20:01:51
→ gj942l41l4 : 你需要的是區間套定理到兩者相等這段嗎？在我看來這 02/25 20:01
→ gj942l41l4 : 段放給讀者想叫省略細節不叫不嚴謹 02/25 20:01
→ alfadick : 我有edit了, 請看 02/25 20:03
→ alfadick : 我的質疑一點都不過份, 念數學的應該都能秒懂我在 02/25 20:04
→ alfadick : 講的點是啥XDDD 02/25 20:05
推 gj942l41l4 : 因為圓周落在[Ln,Un]的交集中啊 問題在哪？ 02/25 20:08
推 yueayase : 不知道，至少用積分定義pi是很合情合理的 02/25 20:45
→ yueayase : 但這序列，其實長得有點奇怪... 02/25 20:45
→ yueayase : 它用到AA'/h->1，這點其實有點古怪... 02/25 21:28
→ yueayase : 用餘弦定理AA'^2=2(1-cosh)=>AA'=sqrt(4(sin^2h/2)) 02/25 21:34
→ yueayase : => AA'/h = sin(h/2)/(h/2)這個還沒證... 02/25 21:35
→ yueayase : 可見不是很顯然... 02/25 21:35
→ yueayase : 所以這樣一來，也不能證sinx/x的極限了 02/25 21:35
→ yueayase : 那這方法恐怕有誤 02/25 21:36
→ gj942l41l4 : 序列奇怪的地方在？ 02/25 22:59
→ gj942l41l4 : 區間套定理就是一圈包一圈 而且最後交集測度是0 02/25 22:59
→ yueayase : 不像平常的2pi啦XD 02/25 23:43