Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[sippo ( )]

之前發過一篇文章解釋了為什麼 "表現良好" 的二維區域，
其面積會跟線性尺度的平方成正比
這篇要解釋的是，對 "表現良好" 的一維曲線線段，其弧長會跟線性尺度成正比

考慮我們有一個線段兩端分別是 (1,0) 和 (0,1)，並可以參數化成 c(x(t), y(t))
假設 c 滿足以下條件:
(i)   x(t) 連續，並在 [0,1] 單調遞減。  x(0)=1, x(T)=0
(ii)  y(t) 連續，並在 [1,0] 單調遞增。  y(0)=0, y(T)=1

按照弧長的定義，我們可以對這個曲線用一組線段 Pn 作近似
下圖中黑色是曲線，紅色是近似的線段
http://imgur.com/bUUphVV

Pn 的定義分成 n 段，第j段是把 ( x( (j-1)(T/n) ), y( (j-1)(T/n)) )
                            和 ( x( (j)(T/n) ), y( (j)(T/n)) ) 以直線連接

我們把第j段的長度稱為 |Pnj|
                      n
弧長的定義是  lim     Σ |Pnj|
             n->inf  j=1

需要注意的是，弧長不一定存在: 當n趨近無窮大時，即使是固定區間，
如果有無窮震盪，Pn 可能不會收歛。

*
接著我們考慮上面的曲線 c(x(t),y(t))
因為 x(t), y(t) 單調遞減/遞增，在這個良好性質下可以證明更多東西

首先考慮一系列的 {Pn}, n=2^k, k=1,2,...
由三角不等式，|P_n+1| >= |Pn|，因此 |Pn| 單調遞增。

|Pnj| <= (Pnj 在 x方向的投影長) + (Pnj 在 y方向的投影長)
因為 x(t), y(t) 單調遞減/遞增，對 j 加總後得知 |Pn| <= 2

因此，因為 |Pn| 單調遞增又有上界，弧長會收斂到一個定值。

*

得到曲線 c 的近似方法後，我們可以考慮相似形曲線 C(X(t), Y(t))
其中 X(t) = a*x(t/a),  Y(t) = a*y(t/a)

c 跟 C 都可以做出各自的 Pn 來近似，兩者是成線性比例的
因此弧長的極限值也會成線性比例。

圓弧是這個證明中的特例，因此雖然我們沒有直接得到 pi，
但是會知道圓弧跟半徑比會是一個固定常數


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※ 編輯: sippo (128.122.3.231), 02/26/2015 08:57:24
推 yueayase    : Great!
→ yueayase    : pi是否一定要用power series或定積分才能嚴格定義?
推 gj942l41l4  : 直接定義成圓周和直徑的比有不嚴格嗎？
→ sippo       : 數學中有很多常數呀，但是不一定有解析上的表示
→ recorriendo : 回推文 要先證明圓周長存在 才能定義圓周長和直徑比
→ recorriendo : 也就是說 這篇的證明就是"定義pi=圓周和直徑的比"
→ recorriendo : 的先決條件
→ alfadick    : sippo大的幾篇我都覺得很讚!!!
→ alfadick    : 推recorriendo!
→ alfadick    : 我查到的弧長定義跟你的有點不一樣, 不過我想
→ alfadick    : 應該是等價的, 問題不大, 可以推來推去.
→ alfadick    : 有點像Riemann integral一樣, 也有多種定義
→ alfadick    : 但都可以推來推去是等價~
→ alfadick    : 我沒真的細想過 但感覺其來應該毫無問題
→ alfadick    : 所以圓周長=半徑*常數 這個就真的不必用到什麼三角
→ alfadick    : 函數不三角函數的了XDD
→ sippo       : 這篇的證明有點偷懶，因為嚴格來說要對所有
→ sippo       : 更細的 partition 近似都要成立
→ sippo       : 而不是只有 2^k 這種特定 partition
→ sippo       : 不過...對良好的連續單調曲線來說 應該是等價的:{