Re: [線代] 對稱矩陣的證明

[JohnMash (Paul)]

※ 引述《BLUEBL00D (777)》之銘言：
: ※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: : 想請教板上強者一道證明：
: : 設A為n階方陣且det(A)=0，若A^T A = A^2，試證A為對稱矩陣。
: : 想了好久都想不出來，希望板上強者能幫忙解答，感謝。
: A^T A 為對稱矩陣 => A^T A , A^2 皆為對稱矩陣且相等
: 對稱矩陣必可做正交/么正對角化 ： A^T A = A^2 = P D_1 P^(-1) = P D_1 P^T
: 由於 A ~ A^2 , 兩者可做同步對角化： A = P D_2 P^(-1) = P D_2 P^T
: 易知 , A 亦為對稱矩陣

根據你的證明方式
你也可以證明以下命題

若A^2是對稱矩陣 則A是對稱矩陣
證明
因A^2是對稱
A^2 = P D P^t
又A和A^2可同時對角化
所以 A = P D' P^t 得證

這樣對嗎



--
Sent from my Android

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.194.229.234
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424918849.A.63F.html
→ Ryoui       : 有A^2=A^T A 才能確定A^2是對稱
如果命題改成

若A^2是對稱矩陣 則A是對稱矩陣

此命題是否恆真
→ ejialan     : 否 反例A=[a b;c -a],b≠c, A^2=(a^2+b*c)*I_2對稱
你的例子非常棒
即使A^2是正定對稱矩陣
我們也無法經由 A^2 和 A 可同時對角化
而得到A也是對稱矩陣 這個結論

推 doom8199    : 當下想到 rotation matrix
※ 編輯: JohnMash (123.194.229.234), 02/26/2015 20:28:57