Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[alfadick (悟道修行者)]

※ 引述《sippo (  )》之銘言：
: 之前發過一篇文章解釋了為什麼 "表現良好" 的二維區域，
: 其面積會跟線性尺度的平方成正比
: 這篇要解釋的是，對 "表現良好" 的一維曲線線段，其弧長會跟線性尺度成正比
: 考慮我們有一個線段兩端分別是 (1,0) 和 (0,1)，並可以參數化成 c(x(t), y(t))
: 假設 c 滿足以下條件:
: (i)   x(t) 連續，並在 [0,1] 單調遞減。  x(0)=1, x(T)=0
: (ii)  y(t) 連續，並在 [1,0] 單調遞增。  y(0)=0, y(T)=1
: 按照弧長的定義，我們可以對這個曲線用一組線段 Pn 作近似
: 下圖中黑色是曲線，紅色是近似的線段
: http://imgur.com/bUUphVV
: Pn 的定義分成 n 段，第j段是把 ( x( (j-1)(T/n) ), y( (j-1)(T/n)) )
:                             和 ( x( (j)(T/n) ), y( (j)(T/n)) ) 以直線連接
: 我們把第j段的長度稱為 |Pnj|


發現這邊有個地方有點小問題, 只是我個人的小問題,

因為我們等等要去把圓寫成 (x(t),y(t)) 的東西,

然後用文章中的理論套進那裡去.


但我剛想了一下, 為什麼圓的曲線函數 (x(t), y(t)) 是連續的

也就是 x(t)=cosθ, y(t)=sinθ 為什麼是連續？

因為 lim   sin x = sin c,  以及  lim  cos x = cos c
     x->c                        x->c

但這兩個是怎麼來的? 其實我不會證這個XDDD

大一微積分的書幾乎都省略這個 proof 了QQQ

我查到的書好像用了 |sinx|<=|x| 來證,

但|sinx|<=|x|怎麼證我只會用標準的證法──均值定理證, 由於MVT會用到微分,

所以用這種方式來證 |sinx|<=|x|, 接著來證 lim(x->c) sin x= sinc(即sin是連續函數)

來證明圓的 x(t) (以及y(t)) 是連續的, 進而套用之後的定理,

就會使我們的結果扯到三角函數的微分, 還是有點不太行的樣子~



ps: 我高度相信 lim sin x = sin c 很好證, 但我查不到有書有證XDD 我也不會證@_@
               x->c

再跟你或其他版友要證明了~~







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※ 編輯: alfadick (114.44.192.4), 02/26/2015 21:52:46
推 yueayase    : 圓寫成 (x(t),y(t)) = (sqrt(1-t^2),t), 0<=t<=1
→ yueayase    : 好像符合那條件，這樣可以不用(cos t, sin t)了嗎?
→ yueayase    : 不過沒回答你的lim sin x= sin c問題就是了
→ alfadick    : 對齁 看到(x(t),y(t))先入為主先想到寫成(cos,sin)
→ yueayase    : 但cos sin連續的證明就想不到了
→ yueayase    : 至少好像要sinx->0 as x->0, cosx->1 as x->0先證
→ yueayase    : 然後用和角展開就有連續性證明了
→ yueayase    : 但那兩個，嗚... 好像還是得用 |sinx| <= |x|...
→ yueayase    : 不是我想的，查書的
→ wohtp       : 不要用 t 當參數，用 x 和 y 就好了
→ wohtp       : 拆成四個 coordinate patch，分開來證連續
→ wohtp       : 啊，一樓已經說了...
→ wohtp       : 這又回到sin，cos，還有圓心角怎麼定義的問題了
→ wohtp       : 如果你用單位圓和弧長來定義角度的話，因為從弧長
→ wohtp       : 到所有東西的mapping都是連續的，sin跟cos作為連續
→ wohtp       : 函數的composite也必須是連續