※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《BLUEBL00D (777)》之銘言：
: : A^T A 為對稱矩陣 => A^T A , A^2 皆為對稱矩陣且相等
: : 對稱矩陣必可做正交/么正對角化 ： A^T A = A^2 = P D_1 P^(-1) = P D_1 P^T
: : 由於 A ~ A^2 , 兩者可做同步對角化： A = P D_2 P^(-1) = P D_2 P^T
: : 易知 , A 亦為對稱矩陣
: 根據你的證明方式
: 你也可以證明以下命題
: 若A^2是對稱矩陣 則A是對稱矩陣
: 證明
: 因A^2是對稱
: A^2 = P D P^t
: 又A和A^2可同時對角化
: 所以 A = P D' P^t 得證
: 這樣對嗎
※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《BLUEBL00D (777)》之銘言：
: : A^T A 為對稱矩陣 => A^T A , A^2 皆為對稱矩陣且相等
: : 對稱矩陣必可做正交/么正對角化 ： A^T A = A^2 = P D_1 P^(-1) = P D_1 P^T
: : 由於 A ~ A^2 , 兩者可做同步對角化： A = P D_2 P^(-1) = P D_2 P^T
: : 易知 , A 亦為對稱矩陣
: 根據你的證明方式
: 你也可以證明以下命題
: 若A^2是對稱矩陣 則A是對稱矩陣
: 證明
: 因A^2是對稱
: A^2 = P D P^t
: 又A和A^2可同時對角化
: 所以 A = P D' P^t 得證
: 這樣對嗎
好久沒碰線代了，有錯還請幫忙指點一下...
WLOG, dim[A]=n+m, 其中dim[span{A}]=n, dim[ker{A}]=m
case0 若m=0, 則A是full-rank的, 雖然不是題目問的我也順便證一下
A'A=A^2→右邊同乘inv(A)即可得證
case1 若n=0, 則A即為零矩陣, 顯然A'=A
case2 若m!=0且n!=0, 那考慮一個矩陣T=[s_1,s_2,...,s_n,k_1,k_2,...,k_m]
其中s_i為span{A}的正交單位基底, k_i為ker{A}的正交單位基底(by G-S演算法)
由於這些s_i和k_i是正交單位基底, 所以T是unitary的, i.e., TT'=T'T=I
然後A可以被T相似變換 A=T[B, o; C, O]T' 這樣, 其中
B是nxn full-rank, O是mxm的零矩陣, C是nxm的什麼值都有可能, o是mxn的零矩陣
代入A^2可以得到A^2=T[B^2, o; CB, O]T'
代入A'A可以得到A'A=T[B'B+C'C, o, o', O]T'
比對左下角那個block的CB=o', 再加上B是full-rank的所以C為零矩陣, 故B^2=B'B
由case0可以知道B'=B
最後代入A'= T[B', o; 0, O]T' = T[B, o; 0, O]T' = A
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人wretch.twbbs.org勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆qllvv.Dorm12.NCTU.edu.tw海
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