Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未定義

[sippo ( )]

我以前有想過類似的問題：怎麼知道圓形是 "封閉曲線" 呢？解釋如下：

幾何上，以O為圓心的單位圓c的定義是 c:{ (x,y)| d((x,y),O)=1  }
其中 d( , ) 是歐式空間的距離，在二維就用畢氏定理計算。

首先我們知道，對於任意 x屬於[-1,1]，都存在 y(x) 使得 (x,y)屬於c
證明就是畢氏定理，還有要用到實數的完備性。
考慮第一象限，因為 y= sqrt(1-(x^2))  這個函數是連續的，而直接蘊涵了:

(1) 圓形有無限多個點
(2) 因為在有界空間中有無限多個點，所以圓形有 accumulating point
(3) 由對稱性，圓形這個集合是 connected 的
(4) 圓形在第一象限的圖形可以用連續函數表示，所以圓形是個一維集合
(5) 由幾何上定義的 sin, cos 連續

這些論述看似都很直觀，因為圓形是R^2中的球
但其他空間 (利如Lp等等) 中也能定義球，
在那些空間，用的不一定是歐式 metric，因此球也不一定有這些性質。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 216.165.95.78
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1424983584.A.E24.html
※ 編輯: sippo (216.165.95.78), 02/27/2015 05:05:10
→ alfadick    : 第一行的封閉是拓樸的closed還是曲線的closed?
→ alfadick    : 曲線的closed的定義好像只是頭尾接在一起,有點忘了
→ sippo       : 不嚴謹的，白話上的 close
→ sippo       : 圓形這個集合的確也是個閉集就是了
推 alfadick    : 我只知道拓樸的closed XDDD