Re: [線代] 矩陣 AB=I => BA = I 嗎

[armopen (八字-風水-姓名學)]

※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: 反方陣的定義
: AB = BA = I，則 B 稱為 A 的反矩陣
: 如果只有 AB = I 那是否必然 BA = I 呢
: 如何證明？

設 A, B 都是 "n x n 方陣", 且 AB = I.

則當 Ax = 0 有 B(Ax) = 0

               BAx = 0

               Ix = 0, x = 0.

=> A 可以經過有限次列基本運算變成單位矩陣,

=> A 是有限個基本矩陣的乘積, 所以 A 可逆.

所以 AB = I => B = A^{-1} 且 BA = I.

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→ yyc2008     : 看不懂為什麼扯到Ax = 0?
→ yyc2008     : 題目不是只知道AB=I 還不知道BA=I?
推 Zorich      : 應該是打錯了XD 原PO應該是想從Bx=0出發,這解得出來
推 profyang    : 這篇正解 但要先證明只有trivial solution和可逆的
→ profyang    : 關係 可逆則是先定義成只有左反矩陣
→ profyang    : 線代老牌聖經Hoffman裡面就是這樣做的