Re: [線代] 矩陣 AB=I => BA = I 嗎

[alfadick (悟道修行者)]

※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: 反方陣的定義
: AB = BA = I，則 B 稱為 A 的反矩陣
: 如果只有 AB = I 那是否必然 BA = I 呢
: 如何證明？


分兩步驟，

第一步驟，證明A存在右反方陣的時候，會存在左反方陣

第二步驟，當一個方陣A同時存在左右反方陣的時候，這兩個方陣相等。


第二步驟比較好證，一行就結束，你自己想。

第一步驟就要中規中矩來了。


pf: 令A為n*n方陣, 設存在 B 使得 AB=I,

    則代表 A 化為 echelon form 時不會有非0的列 (即rank A = n)

    為何呢？以 3*3 為例, 假設 A 不如此,

    你把矩陣乘法 AB=I 想像成 A*(B的第一col)=[1 0 0]^T

                             A*(B的第二col)=[0 1 0]^T

                             A*(B的第三col)=[0 0 1]^T


    不管對A作哪種列運算, 右側的[1 0 0]^T也好、[0 1 0]^T也好、[0 0 1]^T也好

    你不妨觀察這些特殊的行矩陣(I的各個column)的特性,

    發覺不管反覆做哪三種列運算, 絕不可能最下面的entry同時產生0,

    這有點難, 如果你覺得你不好想像, 就不妨拿張計算紙自己試試看

    因此一定會在有個什麼 A*(B的第j個col) = [ 0 ... 1(somewhere) ...0]^T

    的時候, 增廣矩陣寫完最下面產生什麼 "0 0 0 0 0 ... 0 | 常數" 這種樣子

    換言之(B的第j個col)無解. 也就是B不存在, 也就是 A 沒有右反方陣, 與已知矛盾.

    嗯, 所以 rank A = n.


    又 rank A= n時, A可以列運算成 I(自己查課本)

    也就是左側可以成一大堆基本矩陣, 好比 E5E4E3E2E1A=I

    故A也有左反方陣(就是E5E4E3E2E1), 得證.

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※ 編輯: alfadick (114.44.192.4), 02/28/2015 13:01:42
→ yueayase    : rank A= n時, A可以列運算成 I這真的要證
這真的超簡單的

因為 A 是 n*n 矩陣, rankA=n

因此 A 化為 echelon form 之後, pivot是對角線一路這樣下來

長成這樣的矩陣, 輕而易舉就可以再列運算成I囉.


或者更直接說, A的reduced echelon form, 就是I

→ yueayase    : 不過我查了查Friedberg，他就把這問題放在習題
→ yueayase    : 但還沒證列運算性質，我就百思不得其解，要如何
→ yueayase    : 透過光用invertible transformation的觀點證
Friedberg 的線代有他的系統

我超不習慣= = 不太感受到他的哲學觀的美感 XDDDDD
※ 編輯: alfadick (114.44.192.4), 02/28/2015 16:26:07
→ yueayase    : 那你覺得怎樣的是比較好的?我看數學系的課本
→ yueayase    : 都是從vector space和linear transform出發
→ yueayase    : 我學的是從row operation,deteminant出發
→ yueayase    : 變成rank定義的出發點會不一樣
→ yueayase    : 所以有時候，我看到一些問題會想這人是從哪系統出發
→ yueayase    : 的，再去想證明
※ 編輯: alfadick (114.44.192.4), 02/28/2015 19:56:17
→ recorriendo : 從vector space出發是代數的觀點啊 我以為數學系都
→ recorriendo : 是從這裡開始
→ recorriendo : 你說的那種應該去看書名有matrix theory的書
→ alfadick    : 應該是因為當時忙不過來, 線代只讀一半XDDD