※ 引述《mj813 (朽木雕刻師)》之銘言：
: 求解遞迴關係，
: 並寫出「第ｎ項」的一般式。
: 題目：
: 第ｎ＋１項 ＝ ２倍的第ｎ項 ＋（２的ｎ次方）
: 第１項 ＝ ３ （ｎ為自然數）
: 太久沒碰遞迴關係了，麻煩板上的大大解惑。
: 感激不盡！！
a_(n+1)=2a_n+2^n
我們希望改成這種形式: a_(n+1)+f(n+1)=2[a_n+f(n)]
亦即2f(n)-f(n+1)=2^n
先猜測f(n)=k*2^n
則2f(n)-f(n+1)=2k*2^n-k*2^(n+1)=0，失敗
改猜測f(n)=k*n*2^n
則2f(n)-f(n+1)=2k*n*2^n -k(n+1)*2^(n+1) = 2^(n+1)(kn-kn-k)=-k*2^(n+1)=2^n
因此k=-1/2，即f(n)=(-1/2)*n*2^n=-n*2^(n-1)
得a_(n+1)-(n+1)*2^n=2[a_n-n*2^(n-1)]
設b_n=a_n-n*2^(n-1)
則b_(n+1)=2b_n，故<b_n>為等比數列，公比為2
得b_n=b_1*2^(n-1)=[a_1-1*2^0]*2^(n-1)=2^n
故a_n=n*2^(n-1)+2^n=(n+2)*2^(n-1)
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