作者wohtp (會喵喵叫的大叔)
看板Math
標題Re: [線代] 矩陣 AB=I => BA = I 嗎
時間Sun Mar 1 02:00:20 2015
刪光光,我也來玩玩 :)
令 V 為 n-dim vector space,線性變換 A, B : V --> V ,且 AB = I。
欲證明 BA = I。
很明顯的,Ker(B) = {0},不然就要有非零向量被 AB 送到 0 去了。
所以 Image(B) = V。
(只要考慮 V 的基底會被 B 變成另一組基底就可以證明這個了。)
現在考慮 B (AB) = B = (BA) B。
對 V 的任意元素 x,我們有 (BA) (B x) = (B x)
也就是說 (BA) 會把任意 (B x) 送回自己。
因為 Image(B) = V,就是 (BA) 會把 V 的任意元素送回自己。
得證 (BA) = I。
這樣沒有component,乾淨可愛多了。
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→ WasabiSushi : 你的證法跟我之前的證法本質上一樣,其實你可以直接 03/01 13:14
→ WasabiSushi : 讓V是所有的n*n矩陣構成的vector space 03/01 13:16