※ 引述《WasabiSushi (田馥甄Hebe)》之銘言：
: ※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: : 反方陣的定義
: : AB = BA = I，則 B 稱為 A 的反矩陣
: : 如果只有 AB = I 那是否必然 BA = I 呢
: : 如何證明？
: I suppose that both A and B are n*n matrices over a field F.
: Denote by M_n(F) the set of all n*n matrices over F, and regard M_n(F) as a vector space over F. Consider the map f_B: M_n(F)->M_n(F) given by X|->BX. Obviously, f_B is a vector space homomorphism. Since AB=I, it is immediate that f_B is injective, and hence f_B is isomorphism because M_n(F) is finite dimensional. Therefore, there exists C in M_n(F) such that BC=I. Now A=A(BC)=(AB)C=C, and BA=I.
關於這個問題, 我覺得有必要再多講兩句. 看了之前幾位朋友的解答,很多人是直接取A^{-1}. 但是這道題的主要問題恰恰就是問: 為什麼知道A有right inverse B,A就一定也存在left inverse,並且兩者相等呢? 因此我認為不可以直接假定A^{-1}存在.
事實上, 這個問題有一個更一般的結論: Let R be a finite dimensional algebra with identity element 1 over a field F. If x in R has a left (respectively, right) inverse y, then y is also a right (respectively, left) inverse of x.
證明方法如上面那個問題一樣, 假設x的left inverse是y, 那麼取f_x:R->R given by r|->xr, 於是f_x是injective, 進而也是surjective因為R是finite dimensional. 因此存在z in R使得xz=1. 這樣, y=yxz=z. 如果是right inverse, 就換成r|->rx.
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