※ 引述《andysleep (Maydayisgod)》之銘言：
: http://i.imgur.com/56mPsmu.jpg
: 有人會嗎？會用到柯西嗎 ？
: 感恩
直接乘開, 右邊是 123454321+11111(a-b)-ab
所以 2468 = 11111(a-b)-ab
已知 a,b 是自然數, 所以 ab > 0,
所以 11111(a-b) > 11111(a-b)-ab = 2468 > 0 (1)得證
(2): a-b 若為奇數 → 11111(a-b) 為奇數 → ab 為奇數
但 a-b 為奇數 → a b 一奇一偶, 矛盾
(3): a-b 已證得偶數 → 11111(a-b) 為偶數 → ab 為偶數
故 a b 至少有一個是偶數 → 差是偶數, 所以兩個都是偶數
令 a = 2a', b = 2b' 原式化簡為 1234 = 11111(a'-b')-2ab
於是 a'-b' 依然是偶數 → a-b = 2(a'-b') 是四的倍數
(4): a-b 已證得為 4 的倍數, 直接列表:
a-b 4 8 12 16 20
ab 41976 86420 130864 175308 219752
由此直接以一元二次方程根與係數關係再代公式解即可解得 a,b
當中判別式的部份直接做質因數分解可以發現
只有第二組的判別式 345744 = 2^4 * 3^2 * 7^4 是完全平方數
其他都不是完全平方數, 也就是 a,b 會帶根號所以不合
因此 √345744 = 588, 代入公式可解得 a = 298, b = 290
(這小題沒有更好計算的方式了, 因為答案數字就是長這樣
其他的化簡法 (例如求 a+b) 等同於解這一道一元二次方程
這開根號的計算是跑不掉的
好在這題只要求 a,b 為自然數, 因此開根號開不出整數的一定不合)
---
順帶一提, 這組答案表示 123456789 = (11111+298)(11111-290) = 11409 * 10821
若是直接質因數分解 123456789 的話
由於 123456789 帶有的兩個大質因數 3607 跟 3803 (即上面拆得的兩個因數各除以 3)
會在分解 3803*3607 = 13717421 時碰壁
而雖然這樣的做法依然需要分解六位數, 但總比九位數好多了
--
いああオレたちには見えてるモノがあるbデ きっと誰にも奪われないモノがあるはずさ
け 開口一番一虚一実跳梁跋扈形影相弔yュL羊頭狗肉東奔西走国士無双南柯之夢 歪も
ぶ 意味がないと思えるコトがある ラPきっとでも意図はそこに必ずある んの
く 依依恋恋空前絶後疾風怒濤有無相生 ラH急転直下物情騷然愚者一得相思相愛 だが
ろ 無意味じゃない ラ6あの意図が 恋た
で 有為転変死生有命蒼天已死黄天當立 !!6五里霧中解散宣言千錯万綜則天去私 のり
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.195.39.85
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1425395043.A.607.html