推 Tiderus : 3Q 03/04 02:11
※ 引述《Tiderus (嗜欲深者天機淺)》之銘言：
: http://i.imgur.com/1qWYmdR.jpg?1
: http://i.imgur.com/gbag3kj.jpg?1
: http://i.imgur.com/CkEJD8l.jpg?1
: 想不出來的部份：
: 第1題、第3題第3小題、第5題。
: 雖然解出來，但自己的解法有點麻煩，想問有沒有更好做法的部份：
: 第2題用（30度-19度）差角公式硬代，計算繁雜。
: 第4題把b、c都用a表示，代入角C餘弦，細算繁雜。
: 第8題第2小題，我用複數極式來證，但感覺還蠻麻煩的。
2. (cos19°)^2 + (cos11°)^2 - √3 (cos19°cos11°)
= (1/2)(1+cos38°) + (1/2)(1+cos22°) - (√3)(1/2)(cos30°+ cos8°)
= 1 + (1/2)(cos38°+cos22°) - (√3/2)(cos30°+ cos8°)
= 1 + (1/2)(2cos30°cos8°) - (√3/2)(√3/2 + cos8°)
= 1/4
8.(1)→(3)→(2)→(5)→(4)→(6)
cosα+cosβ=-cosγ------(i)
sinα+sinβ=-sinγ------(ii)
(1) (i)^2+(ii)^2得 2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=1 => cosαcosβ+sinαsinβ=-1/2
=> cos(α-β)=-1/2
(3) (i)^2-(ii)^2得
(cosα)^2 - (sinα)^2 + 2cosαcosβ - 2sinαsinβ + (cosβ)^2 - (sinβ)^2
= (cosγ)^2 - (sinγ)^2
=> cos2α + 2cos(α+β) + cos2β = cos2γ
=> 2cos(α+β)cos(α-β) + 2cos(α+β) = cos2γ,
=> cos(α+β) = cos2γ
(2) cos2α+cos2β+cos2γ=2cos(α+β)cos(α-β)+cos2γ=-cos(α+β)+cos2γ= 0
(5) (i)x(ii)得 sinαcosα + sinβcosβ + sinαcosβ + cosαsinβ = sinγcosγ
=>(1/2)(sin2α + sin2β) + sin(α+β) = (1/2)sin2γ
=>(1/2)[2sin(α+β)cos(α-β)] + sin(α+β) = (1/2)sin2γ
=>(-1/2)sin(α+β) + sin(α+β) = (1/2)sin2γ => sin(α+β) = sin2γ
(4) sin2α+sin2β+sin2γ=2sin(α+β)cos(α-β)+sin2γ= -sin(α+β)+sin2γ= 0
(6) (cosα)^2 + (cosβ)^2 + (cosγ)^2
= (1/2)[(1+cos2α)+(1+cos2β)+(1+cos2γ)] = (1/2)(3+cos2α+cos2β+cos2γ)
= 3/2 (由(2))
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