推 Zorich : 謝謝!不過看不懂XD 我是想知道學了可以做啥 03/05 23:29
雖然我不懂辛幾何, 但是我想略微分享一下自己懂的一點東西.
辛幾何也就是symplectic geometry, 主要是研究symplectic manifold, 也就是在每個點的tangent space上面定義一個symplectic form. 我相信大家都已經熟知這些基本定義, 在此我就不贅述了.
首先, 眾所周知, 如果存在一個symplectic form, 那麼顯然是一個skew-symmetric form, 因此可以定義symplectic group that acts on the tangent space.
其次, 關於應用, 我所熟知的一個例子如下:
Lie G be a complex semisimple Lie group, and let g be the Lie algebra of G with Lie blanket [-,-]. Let G acts on g by adjoint action, denoted by Ad(-). If f is a nilpotent element in g, then Ad(G)f is the nilpotent orbit of f in g.
現在, 對於每一個element in Ad(G)f, 我們可以在其tangent space上定義一個symplectic form, 因而Ad(G)f是一個symplectic maniford (variety).
事實上, Define w_f: g ×g -> C given by (x,y) |-> K(f,[x,y]), 這裡K(-,-)是g的Killing form. 顯然w_f是skew-symmetric, 並且其radical是g^f:={u in g | [u,f]=0}. 所以, w_f定義了一個non-degenerate symplectic form on g/g^f. 而g/g^f正是Ad(G)f=G/G^f在f處的tangent space, 這裡G^f:={U in G | Ad(U)f=f}. 這就證明了Ad(G)f有一個symplectic structure, 因而是一個symplectic manifold.
這就說明任何一個complex semisimple Lie algebra裡面的nilpotent orbit都是symplectic manifold.
以上です。
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