※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: ※ 引述《peter015 (hi)》之銘言：
: : 設f為從1,2,3,4映至1,2,3,4的函數,
: : 滿足f(f(x))=f(x),則這樣的函數有幾個?
: : 答案是41個
: : 麻煩大家了,謝謝
: 4
: Σ C(4,k) * k^(4 - k)
: k=1
: = 4 * 1 + 6 * 4 + 4 * 3 + 1 * 1
: = 4 + 24 + 12 + 1
: = 41
我來寫清楚一點好了:
定義域 = {1,2,3,4};值域 = {1,2,3,4}, 滿足f(f(x))=f(x)有以下四種可能性:
(1) f(1)=f(2)=f(3)=f(4)={1,2,3,4} => 4種 ,
(2) f(i)=f(j)={i,j} , f(m)=f(n)={m,n} ,其中 i=\=j , m=\=n , 且 {i,j}=\={m,n}
例如 f(1)=f(2)=1, f(3)=f(4)=3
=> C(4,2)*2*2 = 6*2*2 = 24種,
(3) f(i)=f(j)=f(m)={i,j,m} , f(n)=n , 其中 i=\=j=\=m . 且 n =\={i,j,m}
例如 f(1)=f(2)=f(3)= 1 , f(4)=4
=> C(4,3)*3= 4*3 =12種,
(4)f(x)=x => 1種
所以總共 4+24+12+1=41種
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