Re: [微積] 問一題台大轉學考考題

[Eliphalet (銀河系５大行星侵略者)]

※ 引述《easonya (過客)》之銘言：
: 題目是 Evaluate the following line integral traced in the
:                                          -y                 x
:        counterclockwise direction ∫(-----------)dx + (----------)dy
:                                   C    x^2+y^2           x^2+y^2
:                                x^2    y^2
:        where C is the ellipse  ---- + ---- = 1 .
:                                a^2    b^2
: 原式經過green定理後，
:              1
: ∫∫---------------------- dxdy 沒錯吧？接下來就是要變數變換嗎？
:          (x^2+y^2)^2
: 橢圓應該要做怎樣的變數變換會比較好呢？ 謝謝



  你應該是算錯了且用的條件也搞錯了

  令 M(x,y) = -y/(x^2+y^2) ， N(x,y) = x/(x^2+y^2)


     C_0 = { (x,y) : x^2+y^2 = r^2， 0 < r < min{|a|,|b|} }


      D 為 C 和 C_0 夾出的區域

   M 和 N 在 D 上 為 C^1 函數且在 D 裡面， @N/@x - @M/@y = 0 ，


  因此  ∫  Mdx + Ndy  + ∫   Mdx + Ndy = 0
         C+              C_0-

  所以 ， ∫  Mdx + Ndy = ∫   Mdx + Ndy
           C+              C_0+

  右邊的可以直接算出來是 2π

  所以答案是 2π？

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推 eco100      : 啊對 @N/@x - @M/@y = 0 我算成1了 答案是2π沒錯
→ eco100      : D 為 C 和 C_0 夾出的區域 不過我不懂為什麼是這樣?
→ asdiy       : 對應域 跟積分範圍  交集嗎？
→ Eliphalet   : 不是，這跟積分範圍為什麼關係，只是要避開 0 點
→ WasabiSushi : 因為出了0點,M和N滿足Cauthy-Riemann equation.
→ WasabiSushi : C-R equation是complex的情況, 這裡只是類似.